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相关试卷

1、长方体 $A B C D - A B C_{1} D_{1}$ ， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}} (λ, μ \in [0, 1])$ ， $A P ⊥ B D_{1}$ ，则二面角 $P - A D - B$ 的正切值的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{4}]$ B、 $[0, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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2、已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为矩形， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ，且 $\vec{C_{1} M} = \frac{1}{2} \vec{M B_{1}}$ ，若点 $B$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则点 $C$ 到直线 $A M$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{30}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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3、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x - y + z = 2$ ，点 $M (- 1, 2, 1)$ ，则点 $M$ 到平面 $α$ 距离为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{102}}{102}$ B、 $\frac{\sqrt{102}}{34}$ C、 $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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4、若动点 $P (x, y)$ 满足方程 $|\sqrt{{(x + 2)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}}| = 3$ ，则动点P的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} - \frac{y^{2}}{\frac{7}{4}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{7}{4}} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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5、在各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{6} = 2 a_{5} + 3 a_{4}$ ，若存在两项 $a_{m}$ ， $a_{k}$ 使得 $\sqrt{a_{m} a_{k}} = 3 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{k}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、2

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ 为棱 $B C$ 上一点，且 $C D = 2 B D$ ，点 $M$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、以 $\{\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C}, \overset{⃑}{A P}\}$ 为一组基底表示向量 $\overset{⃑}{P M}$ ；

(2)、若 $A B = A C = 3$ ， $A P = 4$ ， $∠ B A C = ∠ P A C = 60^{\circ}$ ，求 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{A C}$ ．

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7、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 36$ ，直线 $2 x + (m + 1) y - 3 m + 1 = 0$ ，则（）

A、当 $m = 1$ 时，圆C上恰有两个点到直线 $l$ 的距离等于1 B、圆C与圆 $x^{2} + y^{2} + 12 x + 10 y + 45 = 0$ 恰有三条公切线 C、直线 $l$ 恒过定点 $(- 2, 3)$ D、直线 $l$ 与圆C有两个交点

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8、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 1) + a x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} + m \cdot 2^{f (x)}$ 的最小值为 $- 3$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $[f (x) - 1 + k] [f (x) - 1 - 4 k] + 2 k^{2} + k = 0$ 有两根，求实数 $k$ 的取值范围．

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9、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x |x - a|$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求使 $f (x) \geq x$ 成立的 $x$ 的集合；

(2)、若 $y = f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值为2，求实数 $a$ 的值；

(3)、求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最小值（用 $a$ 表示）．

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10、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；
（3）当 $x \in [\frac{1}{2}, 3]$ 时， $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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11、据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约 $1000$ 只，并以平均每年 $8 %$ 的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出 $y$ （珍稀鸟类的个数）关于 $x$ （经过的年数）的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 $3$ 倍或以上？（结果为整数）(参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ )

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12、设命题 $p$ ：实数 $x$ 满足 $(x - a) (x - 3 a) < 0$ ，其中 $a > 0$ ，命题 $q$ ：实数 $x$ 满足 $\frac{x - 3}{x - 2} \leq 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p$ 是真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、若定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足：① $f (x)$ 为奇函数；② $f (1) = 0$ ；③对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，已知函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，则不等式 $(2 x + 1) \cdot f (x) < 0$ 的解集为．

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14、求值：
（1） ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 9.6)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(1.5)}^{- 2} =$ ；
（2） ${(lg 5)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + 2^{1 + {log}_{2} 5} =$ ．

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15、一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域为 $[k a, k b]$ ，则称 $[k a, k b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍跟随区间”；若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域也为 $[a, b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）

A、若 $[1, b]$ 为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 的跟随区间，则 $b = 2$ B、函数 $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ 存在跟随区间 C、若函数 $f (x) = m - \sqrt{x + 1}$ 存在跟随区间，则 $m \in (- \frac{1}{4}, 0]$ D、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 存在“3倍跟随区间”

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16、下列不等式正确的是（）

A、 ${0.3}^{0.2} < 2^{0.3} < 4^{0.2}$ B、 ${0.3}^{- 0.1} < {0.4}^{- 0.1} < {0.5}^{- 0.1}$ C、 ${log}_{0.4} 3 < {log}_{0.3} 3 < {log}_{0.2} 3$ D、 ${log}_{6} 3 < \frac{2}{3} < lg 5$

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17、下列结论正确的是（）

A、 $\forall a \in R, n \in N^{*}$ ，都有 $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ B、已知 $a$ 为常数且 $a > 1$ ，则 $\exists x_{0} > 0$ ，当 $x > x_{0}$ 时，恒有 $a^{x} > a x > {log}_{a} x$ C、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}}$ 的单调递减区间是 $[3, + \infty)$ D、 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上具有零点的必要不充分条件是 $f (a) \cdot f (b) < 0$

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18、已知实数 $a, b \in (0, 3)$ ，且满足 $a^{2} - b^{2} - 9 = \frac{27}{3^{b}} - 3^{a} - 6 b$ ，则 $a^{2} + 2 b$ 的最小值为（）

A、6 B、 $\frac{21 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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19、若关于 $x$ 的函数 $f (x) = lg [{log}_{a} (x^{2} + a x + 2)]$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2)$ B、 $(0, 1) \cup (1, 2 \sqrt{2})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, 2 \sqrt{2})$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(a + 2)}^{x}, x < 1 \\ x^{2} - 2 a x + 2, x \geq 1 \end{array}$ （ $a > - 2$ 且 $a \neq - 1$ ）在定义域内单调，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $(- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $(- 2, - 1) \cup (- 1, 1]$ D、 $(- 2, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{3}]$

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