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相关试卷

1、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ B、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ C、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ D、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 的平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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2、已知直线 $l : k x - y + k = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0, P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C$ 上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 的最大值为5 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时， $k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离最大为4

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3、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　）

A、m＝2 B、椭圆C的长轴长为 $\sqrt{3}$ C、椭圆C的短轴长为2 $\sqrt{2}$ D、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4、已知点 $P (t, t), t \in R$ ，点 $M$ 是圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ 上的动点，点 $N$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 上的动点，则 $|P N| - |P M|$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、1 D、2

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5、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点 $M$ 在线段 $C C_{1}$ 上，动点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上，且 $A P ⊥$ 平面 $M B D_{1}$ ，则线段 $A P$ 长度的取值范围为（）

A、 $[1, \sqrt{2}]$ B、 $[1, \sqrt{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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6、F₁ ， F₂是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 $\overset{⃑}{P F_{1}} \cdot \overset{⃑}{P F_{2}}$ 的最大值是

A、4 B、5 C、2 D、1

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过其左焦点的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ F_{2} A B$ 的周长为16，则 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$

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8、直线 $l_{1} : (a^{2} - 1) x + a y - 1 = 0, l_{2} : (a - 1) x + (a^{2} + a) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值不可能是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $- 2$

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9、已知平面上动点 $M (x, y)$ 与定点 $(1, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $x = 2$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 两个不同的点.

(1)、若直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ ，求 $△ O P Q$ 的面积；

(2)、若 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 和 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 均为定值.

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10、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A$ 是 $C$ 上在第一象限的一点，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $A B ⊥ y$ 轴， $|A B| = 2$ ， $|A F| = 3$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $△ M O N$ 的面积为 $\sqrt{5}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线 $M N$ 的方程．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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12、在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 7, a_{9} = - 5,$ ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值；

(3)、设 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} |$ ，求 $T_{n}$ ．

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，若双曲线不存在以点 $(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是．

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14、如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角 $A - C D - E$ 为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足 $A M = F N$ ，则线段MN长的最小值为．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} = 3^{n} - 2$ ，则 $a_{n} =$

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16、 $|x| + |y|$ 称为点 $P (x, y)$ 的“ $δ$ 和”，下列说法正确的是（）

A、“ $δ$ 和”为1的点 $P (x, y)$ 的轨迹围成的图形的面积为2 B、设 $P$ 是直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上任意一点，则点 $P (x, y)$ 的“ $δ$ 和”的最小值为2 C、设 $P$ 是直线 $a x - y + 2 = 0$ 上任意一点，则使得“ $δ$ 和”最小的点有无数个的充要条件是 $a = 1$ D、设 $P$ 是椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上任意一点，则“ $δ$ 和”的最大值为 $\sqrt{3}$

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17、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6 B、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、椭圆C上存在两个点，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、 $\frac{1}{2 |P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$

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18、已知曲线 $C : a x^{2} + a y^{2} - 2 x + 4 a^{2} y = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，曲线 $C$ 是一条直线 B、当 $a \neq 0$ 时，曲线 $C$ 是一个圆 C、当曲线 $C$ 是圆时，它的面积的最小值为 $2 π$ D、当曲线 $C$ 是面积为 $5 π$ 的圆时， $|a| = 1$

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19、机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{5 \sqrt{22}}{22}$

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20、若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 10 = 0$ 上至少有三个不同的点到直线 $l : a x + b y = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ B、 $[\frac{π}{9}, \frac{5 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{12}, \frac{5 π}{11}]$ D、 $[\frac{π}{9}, \frac{5 π}{11}]$

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