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相关试卷

1、据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约 $1000$ 只，并以平均每年 $8 %$ 的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出 $y$ （珍稀鸟类的个数）关于 $x$ （经过的年数）的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 $3$ 倍或以上？（结果为整数）(参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ )

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2、设命题 $p$ ：实数 $x$ 满足 $(x - a) (x - 3 a) < 0$ ，其中 $a > 0$ ，命题 $q$ ：实数 $x$ 满足 $\frac{x - 3}{x - 2} \leq 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p$ 是真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、若定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足：① $f (x)$ 为奇函数；② $f (1) = 0$ ；③对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，已知函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，则不等式 $(2 x + 1) \cdot f (x) < 0$ 的解集为．

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4、求值：
（1） ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 9.6)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(1.5)}^{- 2} =$ ；
（2） ${(lg 5)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + 2^{1 + {log}_{2} 5} =$ ．

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5、一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域为 $[k a, k b]$ ，则称 $[k a, k b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍跟随区间”；若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域也为 $[a, b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）

A、若 $[1, b]$ 为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 的跟随区间，则 $b = 2$ B、函数 $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ 存在跟随区间 C、若函数 $f (x) = m - \sqrt{x + 1}$ 存在跟随区间，则 $m \in (- \frac{1}{4}, 0]$ D、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 存在“3倍跟随区间”

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6、下列不等式正确的是（）

A、 ${0.3}^{0.2} < 2^{0.3} < 4^{0.2}$ B、 ${0.3}^{- 0.1} < {0.4}^{- 0.1} < {0.5}^{- 0.1}$ C、 ${log}_{0.4} 3 < {log}_{0.3} 3 < {log}_{0.2} 3$ D、 ${log}_{6} 3 < \frac{2}{3} < lg 5$

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7、下列结论正确的是（）

A、 $\forall a \in R, n \in N^{*}$ ，都有 $\sqrt[n]{a^{n}} = a$ B、已知 $a$ 为常数且 $a > 1$ ，则 $\exists x_{0} > 0$ ，当 $x > x_{0}$ 时，恒有 $a^{x} > a x > {log}_{a} x$ C、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{\sqrt{x^{2} - 4 x + 3}}$ 的单调递减区间是 $[3, + \infty)$ D、 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上具有零点的必要不充分条件是 $f (a) \cdot f (b) < 0$

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8、已知实数 $a, b \in (0, 3)$ ，且满足 $a^{2} - b^{2} - 9 = \frac{27}{3^{b}} - 3^{a} - 6 b$ ，则 $a^{2} + 2 b$ 的最小值为（）

A、6 B、 $\frac{21 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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9、若关于 $x$ 的函数 $f (x) = lg [{log}_{a} (x^{2} + a x + 2)]$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2)$ B、 $(0, 1) \cup (1, 2 \sqrt{2})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(1, 2 \sqrt{2})$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(a + 2)}^{x}, x < 1 \\ x^{2} - 2 a x + 2, x \geq 1 \end{array}$ （ $a > - 2$ 且 $a \neq - 1$ ）在定义域内单调，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $(- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $(- 2, - 1) \cup (- 1, 1]$ D、 $(- 2, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{3}]$

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11、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 4\}, B = \{x |x \geq 2\},$ 则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $(2, 4)$ B、 $[2, 4)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 2]$

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12、已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{x}$ 在点 $(1, - 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a - 1) x - 2$ 只有一个公共点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{1, 9\}$ B、 $\{0, 1, 9\}$ C、 $\{- 1, - 9\}$ D、 $\{0, - 1, - 9\}$

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13、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $f (x) < 0$ 的解集．

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < a - 1$ ．

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14、命题“ $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

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15、已知 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，同时 $f^{'} (x) < \frac{1 - f (x)}{x}$ ，对任意 $a > b > 0$ ，则必有（）

A、 $a f (b) + a < b f (a) + b$ B、 $b f (b) - b < a f (a) - a$ C、 $b f (a) - a < a f (b) - b$ D、 $a f (a) + b < b f (b) + a$

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ．过右焦点 $F_{2}$ 的直线l交椭圆于点M、N，且 $△ F_{1} M N$ 的周长为16．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、记直线AM、BN的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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17、过点 $P (2, 3)$ 的等轴双曲线的方程为.

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18、离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 $Φ_{P} = 1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + \cdot \cdot \cdot ∠ Q_{k - 1} P Q_{k} + ∠ Q_{k} P Q_{1})$ ，其中 $Q_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k, k \geq 3)$ 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ，平面 $Q_{2} P Q_{3}$ ， …，平面 $Q_{k - 1} P Q_{k}$ 和平面 $Q_{k} P Q_{1}$ 为多面体M的所有以P为公共点的面．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)、如图，已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C$ ，三棱锥 $P - A B C$ 在顶点C处的离散曲率为 $\frac{1}{3}$ ．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．

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19、已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 - x^{2})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间（只需写出结果即可）；

(2)、求不等式 $f (2 x - 1) \leq f (x)$ 的解集；

(3)、若方程 ${[f (x)]}^{2} - m \cdot f (x) + n = 0$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内有3个不等实根，求 $4^{n + 1} - 5 \cdot 2^{m} + \frac{1}{4}$ 的最小值．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}, B C C_{1} B_{1}$ 均为正方形， $A B = B C = 2$ ， $A B ⊥ B C, D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $B C_{1}$ $∥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的余弦值.

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