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相关试卷

1、已知点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 3 |F_{1} F_{2}|$ ，动点 $M$ 的轨迹为记为 $E$ .

(1)、求轨迹 $E$ 的方程.

(2)、若 $P$ 为 $E$ 上一点，且点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $d \in (0, 1)$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径的取值范围.

(3)、若直线 $l : y = k (x - 1)$ 与 $E$ 交于 $C$ ， $D$ 两点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右顶点，设直线 $A_{1} C$ 的斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ ，直线 $A_{2} D$ 的斜率为 $k_{2} (k_{2} \neq 0)$ ，试问 $\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1}^{2} + k_{2}^{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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2、如图所示的几何体中，四边形 $P D C E$ 为矩形，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ B A D =$ $\frac{π}{2}$ ， $F$ 为 $P A$ 的中点， $P D = \sqrt{2}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ ，线段 $P C$ 交 $D E$ 于点 $N$ .

(1)、求证： $A C //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值；

(3)、在线段 $E F$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $B Q$ 与平面 $B C P$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $F Q$ 的长；若不存在，请说明理由.

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3、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知点 $M (- 4, 0)$ ，点 $N (4, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足：直线PM与直线PN的斜率之积是 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与（1）中轨迹 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $Q (2, - 1)$ 为线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，求弦长 $| A B |$ .

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4、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是椭圆上的一点，且 $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ， $|O P| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_{1} F_{2}|$ ，则椭圆的离心率 $e$ 等于.

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5、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，直线 $l : x - y - 1 = 0$ ， P为l上的动点.过点P作 $⊙ M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为A，B，当四边形 $P A M B$ 的面积最小时，直线AB的方程为.

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6、在四面体 $O - A B C$ 中，空间的一点 $M$ 满足 $\vec{O M} = λ \vec{O A} + 2 \vec{O B} - 4 \vec{O C}$ ．若 $M$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面，则 $λ =$ ．

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7、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ B、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ C、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ D、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 的平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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8、已知直线 $l : k x - y + k = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0, P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C$ 上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 的最大值为5 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时， $k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离最大为4

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9、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（　　）

A、m＝2 B、椭圆C的长轴长为 $\sqrt{3}$ C、椭圆C的短轴长为2 $\sqrt{2}$ D、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知点 $P (t, t), t \in R$ ，点 $M$ 是圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{4}$ 上的动点，点 $N$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 上的动点，则 $|P N| - |P M|$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、1 D、2

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点 $M$ 在线段 $C C_{1}$ 上，动点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上，且 $A P ⊥$ 平面 $M B D_{1}$ ，则线段 $A P$ 长度的取值范围为（）

A、 $[1, \sqrt{2}]$ B、 $[1, \sqrt{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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12、F₁ ， F₂是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 $\overset{⃑}{P F_{1}} \cdot \overset{⃑}{P F_{2}}$ 的最大值是

A、4 B、5 C、2 D、1

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过其左焦点的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ F_{2} A B$ 的周长为16，则 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$

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14、直线 $l_{1} : (a^{2} - 1) x + a y - 1 = 0, l_{2} : (a - 1) x + (a^{2} + a) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值不可能是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $- 2$

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15、已知平面上动点 $M (x, y)$ 与定点 $(1, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $x = 2$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 两个不同的点.

(1)、若直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ ，求 $△ O P Q$ 的面积；

(2)、若 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 和 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 均为定值.

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16、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A$ 是 $C$ 上在第一象限的一点，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $A B ⊥ y$ 轴， $|A B| = 2$ ， $|A F| = 3$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $△ M O N$ 的面积为 $\sqrt{5}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线 $M N$ 的方程．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18、在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 7, a_{9} = - 5,$ ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值；

(3)、设 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} |$ ，求 $T_{n}$ ．

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，若双曲线不存在以点 $(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是．

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20、如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角 $A - C D - E$ 为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足 $A M = F N$ ，则线段MN长的最小值为．

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