相关试卷

1、如图所示，将形状大小完全相同的“ $▱$ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ $▱$ ”的个数为a₁ ，第2幅图中“ $▱$ ”的个数为a₂ ，第3幅图中“ $▱$ ”的个数为a₃……以此类推，若 $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{2}{a_{3}} + \dots + \frac{2}{a_{n}} = \frac{n}{2020}$ (n为正整数)，则n 的值为.

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2、观察以下等式：
第1个等式： $\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} \times \frac{0}{2} = 1 .$
第2个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 1 .$
第3个等式： $\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} = 1 .$
第4个等式： $\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = 1 .$
第5个等式： $\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{6} = 1 .$
……
按照以上规律，解决下面的问题：

(1)、写出第6个等式：.

(2)、写出你猜想的第n个等式： (用含 n的等式表示)，并证明.

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3、方程 $\frac{x + 3}{x + 1} - y = 0$ 的整数解有( )组.

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、若 $\frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{a}{2 n - 1} + \frac{b}{2 n + 1}$ 对任意自然数n都成立，则a= ， b=；
计算 $m = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{19 \times 21} =$ .

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5、

(1)、要使分式 $\frac{a^{2} - 4}{1 + \frac{1 + 3 a}{2 a}}$ 没有意义，则a 的值为.

(2)、当m=时，分式 $\frac{(m - 1) (m - 3)}{m^{2} - 3 m + 2}$ 的值为零.

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6、埃及算术
古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识.整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数.在一部记录古埃及数学的《莱因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了‘ $“ \frac{2}{n} ”$ 型分数分解成单分数的结果，如 $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} ， \frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28} ， \frac{2}{9} =$ $\frac{1}{5} + \frac{1}{45} ，$ 则 $\frac{2}{11}$ = $\frac{1}{()}$ + $\frac{1}{()}$ .更一般地，有 $\frac{2}{2 n - 1}$ = $\frac{1}{()}$ + $\frac{1}{()}$ (n取大于2的自然数).

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7、分子为1的真分数叫作“单位分数”，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如 $\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} .$

(1)、把 $\frac{7}{12}$ 写成两个单位分数的和.

(2)、研究真分数 $\frac{13}{x}$ ，对于某些x的值，它可以写成两个单位分数的和.
例如当x=42时， $\frac{13}{42} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7} .$
你还能找出多少x 的值，使得 $\frac{13}{x}$ 可以写成两个单位分数的和?

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8、分式中的欧拉公式：
欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也留下了他的足迹.下面是分式中的欧拉公式，请证明：
$\frac{a^{r}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{r}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{r}}{(c - a) (c - b)} = {\begin{array}{l} 0 (r = 0, 1 时) \\ 1 (r = 2 时) \\ a + b + c (r = 3 时) \end{array}$ .

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9、 A，B两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同.其中，A家庭每次购买25千克，B家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问：谁的购买方式合算?

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10、已知实数a，b，c 满足a+b+c=0， abc=4.那么 $\frac{1}{a} +$ $\frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的值( ).

A、是正数 B、是零 C、是负数 D、可正可负

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11、

(1)、若分式 $\frac{3 x^{2} - 12}{x^{2} + 4 x + 4}$ 的值为0，则x的值为.

(2)、如果整数a(a≠1)使得关于x的一元一次方程 $a x - 3 = a^{2} + 2 a + x$ 的解是整数，则该方程所有整数解的和为.

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12、[观察]1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，……，47×3=141，48×2=96，49×1=49.
[发现]根据你的阅读回答问题：

(1)、上述内容中，两数相乘，积的最大值为.

(2)、设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是
[类比]观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1.
猜想 mn 的最大值为，并用你学过的知识加以证明.

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13、已知两互不相等的正整数a，b满足 $a^{2} - b^{2} = 2018 - 2 a ，$ 求a+b的值.

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14、黑板上写有1， $\frac{1}{2}$ ， ……， $\frac{1}{100}$ 共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是( ).

A、2012 B、101 C、100 D、99

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15、面点师烤完一个长方形的大蛋糕后计划沿与锅边平行的方向将蛋糕切成大小形状相同的矩形块，且每次切割都不切断.面点师还打算将锅的内沿一圈做成相同数量的脆皮，这样与矩形蛋糕混在一起成布朗尼蛋糕.则面点师可以最多做( )块布朗尼蛋糕.

A、24 B、30 C、48 D、0 E、64

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16、若 $m = 200 6^{2} + 200 6^{2} \times 200 7^{2} + 200 7^{2} ，$ 则m( ).

A、是完全平方数，还是奇数 B、是完全平方数，还是偶数 C、不是完全平方数，但是奇数 D、不是完全平方数，但是偶数

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17、 A，n都是自然数，且 $A = n^{2} + 15 n + 26$ 是一个完全平方数，则n=.

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18、整数x，y满足方程2xy+x+y=83，则x+y=.

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19、若两个不等实数m，n满足 $m^{2} - 2 m = a ， n^{2} - 2 n = a ， m^{2} + n^{2} = 5 ，$ 则实数a 的值为.

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20、计算：

(1)、 $\frac{200 4^{3} - 2 \times 200 4^{2} - 2002}{200 4^{3} + 200 4^{2} - 2005} .$

(2)、 $\frac{(2^{4} + \frac{1}{4}) (4^{4} + \frac{1}{4}) (6^{4} + \frac{1}{4}) (8^{4} + \frac{1}{4}) (1 0^{4} + \frac{1}{4})}{(1^{4} + \frac{1}{4}) (3^{4} + \frac{1}{4}) (5^{4} + \frac{1}{4}) (7^{4} + \frac{1}{4}) (9^{4} + \frac{1}{4})}$

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