相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $s i n A =$ $\frac{2}{3}$ ，则 $∠ A$ 的范围为 ( )

A、 $0^{\circ} < A < 30^{\circ}$ B、 $30^{\circ} < A < 45^{\circ}$ C、 $45^{\circ} < A < 60^{\circ}$ D、 $60^{\circ} < A < 90^{\circ}$

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2、综合与实践
阅读下列材料：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制. 也就是说， “逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数. 例如： ${(1101)}_{2}$ 就是二进制数 1101 的简单写法，十进制数一般不标注基数， ${(\bar{a b c})}_{n}$ 表示这个 $n$ 进制数从右起，第一位上的数字为 $c$ ，第二位上的数字为 $b$ ，第三位上的数字为 $a$ . 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式. 例如十进制数 $5678 = 5 \times 10^{3} + 6 \times 10^{2} + 7 \times 10^{1} + 8 \times 10^{0}$ (当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ). 同理，二进制数 ${(1101)}_{2}$ 转换为十进制数为： $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ . 一个十进制数转换为 $n$ 进制数时，把十进制数表示成 $0, 1, 2, \dots, n - 1$ 与基数 $n$ 的幂的乘积之和的形式. 例如，将十进制数 46 转换为三进制数，因为 $27 < 46 < 81$ ，即 $3^{3} < 46 < 3^{4}$ ，则 $46 = 1 \times 3^{3} + 2 \times 3^{2} + 0 \times 3^{1} + 1 \times 3^{0}$ ，所以 46 转换为三进制数为 ${(1201)}_{3}$ .
根据上述材料，解答下列问题.

(1)、①把二进制数(1011)2转换为十进制数；
②把十进制数 29 转换为二进制数.

(2)、把十进制数 63 转换为五进制数；

(3)、若一个三进制数转换为十进制数为 $m$ ，一个四进制数转换为十进制数为 $n$ ，当 $m + n = 99$ 时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”.
①判断(1210)3 与(303)4是否互为“久久数”，并说明理由；
②若 ${(\bar{a b 01})}_{3}$ 与 ${(\bar{a 3 b})}_{4}$ 互为“久久数”，求 $a, b$ 的值.

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3、阅读理解：
对于数轴上任意一点 $P$ ，把与点 $P$ 相距 $a$ 个单位长度 ( $a$ 是正数) 的两点所表示的数分别记作 $x$ 和 $y$ (其中 $x < y$ )，并把 $x, y$ 这两个数叫做“点 $P$ 关于 $a$ 的对称数组”，记作 $M (P, a) = < x$ ， $y >$ . 例如：原点 $O$ 表示数 0，原点 $O$ 关于 1 的对称数组是 $M (0, 1) = < - 1, 1 >$ .

(1)、如果点 $P$ 表示数 1，那么点 $P$ 关于 2 的对称数组是；

(2)、如果 $M (P, a) = < - 3, 5 >$ ，那么点 $P$ 表示的数是； $a$ 的值是；

(3)、如果 $P$ 表示数3， $M (P ， a) = < - 2018$ ， $y >$ ，则 $y$ 的值是；

(4)、如果 $P$ 、 $Q$ 是数轴上两个动点， $M (P, 3) = < x, y >, M (Q, 2) = < m, n >$ ，两点同时从原点出发反向运动，且点 $Q$ 的速度是点 $P$ 速度的 2 倍，当 $y - m = 2 x + n$ 时，点 $Q$ 表示的数是；

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4、对于有理数 $x, y, a, t$ ，若 $|x - a| + |y - a| = t$ ，则称 $x$ 和 $y$ 关于 $a$ 的 “友谊数” 为 $t$ ，例如， $|2 - 1| + |3 - 1| = 3$ ，则 2 和 3 关于 1 的” 友谊数 “为 3.

(1)、-1 和 5 关于 4 的“友谊数”为；

(2)、若 $2 k$ 和 1 关于 3 的 “友谊数” 为 4，求 $k$ 的值；

(3)、若 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 关于 1 的 “友谊数” 为 $1, x_{1}$ 和 $x_{2}$ 关于 2 的 “友谊数” 为 $1, x_{2}$ 和 $x_{3}$ 关于 3 的 “友谊数”为 $1, \dots, x_{50}$ 和 $x_{51}$ 关于 51 的“友谊数”为 1 ；
① $x_{0} + x_{1}$ 的最大值为；
② $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{50}$ 的最小值为.

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5、求若干个相同的有理数 (均不等于 0 ) 的除法运算叫做除方，如 $2 \div 2 \div 2, (- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等. 类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2^{③}$ ，读作“2 的圈 3 次方”， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 记作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“一 3 的圈 4 次方”，一般地，把 $\underset{n ↑ a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ 记作 $a (n)$ ，读作“ $a$ 的圈 $n$ 次方”.

(1)、直接写出计算结果： $2^{③} =$ ， ${(- 3)}^{⑤} =$ ；

(2)、我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
除方 $\to 2^{\oplus} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} \to$ 乘方
仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式.
${(- 3)}^{③}$ = ， $5^{⑤}$ = ， ${(- \frac{1}{2})}^{⑥}$ = ，

(3)、由(2)中的算式归纳：有理数 $a (a \neq 0)$ 的圈 $n (n \geq 3)$ 次方写成幂的形式等于；

(4)、计算 $27 \div {(- \frac{1}{3})}^{⑤} + 2^{③} \div {(- 8)}^{- 1} - {(- 3)}^{3}$ .

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6、计算题：

(1)、 $(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) - (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$ ）

(2)、 $\frac{2024}{4 \times 8} + \frac{2024}{8 \times 12} + \frac{2024}{12 \times 16} + \dots + \frac{2024}{2016 \times 2020} + \frac{2024}{2020 \times 2024}$ .

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7、已知关于 $x$ 的绝对值方程 $2 || x - 1 |- 2| = a$ 有三个解，则 $a =$ .

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8、若 $a 、 b 、 c$ 为整数，且 ${|a - b|}^{21} + {|c - a|}^{2021} = 1$ ，则 $|a - b|$ $+ |b - c| + |c - a| =$ .

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9、老师规定 $[x)$ 表示大于 $x$ 的最小整数，如： $[3) = 4$ ， $[- 1.2) = - 1$ ，则下列结论中正确的有(填序号).
① $[0) = 0;$ ② $[x) - x$ 的最小值是 0，
③ $[x) - x$ 的最大值是 1； ④存在有理数 $x$ ，使 $[x] - x = 0.5$ 成立.

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10、如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第 $n$ ( $n$ 为正整数)个图案中白色正六边形比黑色正六边形多个.(用含 $n$ 的代数式表示)

第 1 个图案第 2 个图案第 3 个图案

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11、若 $x 、 y 、 z$ 为互不相等的正整数，且 $x y^{2} z^{3} = 2250$ ，则 $x$ $+ y + z$ 的结果有( )

A、5 种 B、6 种 C、7 种 D、8 种

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12、如果 $M = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \dots \times \frac{97}{98} \times \frac{99}{100}, N = |- \frac{1}{10}|$ ，那么 $M$ 与 $N$ 的大小关系是( )

A、 $M < N$ B、 $M = N$ C、 $M > N$ D、 $M^{2} = N^{2}$

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13、如图，已知数轴上点 $A, B, C$ 所对应的数 $a, b, c$ 都不为 0，且 $C$ 是 $A B$ 的中点，如果 $|a + b| - |a - 2 c| + |b - 2 c| - |a + b - 2 c| = 0$ ，则原点 $O$ 的大致位置在( )

A、 $A$ 的左边 B、 $A$ 与 $C$ 之间 C、 $C$ 与 $B$ 之间 D、 $B$ 的右边

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14、小明在某月的日历上圈出三个数 $a, b, c$ ，并求出它们的和是 42，则这三个数在日历中的位置不可能的是( )

A、 B、 C、 D、

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15、点 $C$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过 $A C$ 的中点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于点 $H$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ .

(1)、如图，若 $F C$ 也是 $⊙ O$ 的直径，已知 $A B = 6$ ，求 $A C$ 的长.

(2)、如图.
① 求证： $A C = \sqrt{2} A F$ ；
② 若 $A H : H D = 7 : 5$ ，求 $t a n ∠ E F C$ 的值.

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16、已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a (a > 0)$ ，记该函数在 $m \leq x \leq n$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，已知 $M - N = 3$ .

(1)、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}, n = m + 1$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、已知 $m = t + 2, n = 2 t + 1$ ( $t$ 为整数)，若 $\frac{M}{N}$ 为整数，求 $a$ 的值.

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17、如图， $△ O A B$ 中， $O A = O B, ⊙ O$ 过 $A B$ 中点 $C$ 且与 $O A 、 O B$ 分别交于点 $E 、 F$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、延长 $A O$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连结 $D F 、 D C$ ，求证： $∠ E D C = ∠ F D C$ ；

(3)、在(2)的条件下，若 $D E = 10, D F = 6$ ，求 $C D$ 的长.

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18、如图，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，等腰 $△ A D C$ 的顶角 $∠ A D C$ $= 120^{\circ}$ ，点 $M$ 是矩形 $C D E F$ 的对角线 $D F$ 的中点，连接 $M B$ ，若 $A B = 6 \sqrt{3}, A C = 6$ ，则 $M B$ 的最小值为.

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19、如图，平面直角坐标系中， $A (4, 0)$ ，点 $B$ 为 $y$ 轴上一点，连接 $A B, t a n ∠ B A O = 2$ ，点 $C, D$ 为 $O B, A B$ 的中点，点 $E$ 为射线 $C D$ 上一个动点，当 $△ A E B$ 为直角三角形时，点 $E$ 的坐标为.

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20、二次函数 $y = {(x - b)}^{2} + b + 1$ 的图象与一次函数 $y =$ $- x + 5 (- 1 \leq x \leq 5)$ 的图象没有交点，则 $b$ 的取值范围是.

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