相关试卷

1、学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x - 4} = 1$ 的解为正数，求 $a$ 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 $x$ 的方程，得到方程的解为 $x = a + 4$ ，由题目可得 $a + 4 > 0$ ，所以 $a > - 4$ ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须 $a \neq 0$ 才行．

(1)、请回答：的说法是正确的，正确的理由是；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{x - 3} + \frac{3 m}{3 - x} = 3$ 的解为非负数，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{3 - 2 x}{x - 3} + \frac{n x - 2}{x - 3} = - 1$ 无解，求 $n$ 的值．

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2、在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．

(1)、解分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 时产生了增根，这个增根是：；

(2)、若关于x的方程 $\frac{x - m}{x - 2} - \frac{5}{x} = 1$ 有增根，求m的值：；

(3)、已知整数m使关于x的方程 $\frac{m x}{1 - x} - \frac{1}{x - 1} = 3$ 有整数解，求m的值．

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3、阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x - 4} = 1$ 的解为正数，求 $a$ 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 $x$ 的方程，得到方程的解为 $x = a + 4$ ，由题目可得 $a + 4 > 0$ ，所以 $a > - 4$ ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足____．

(1)、请回答：横线填什么．
完成下列问题：

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{x - 3} - \frac{x}{3 - x} = 2$ 的解为非负数，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{3 - 2 x}{x - 3} + \frac{n x - 2}{x - 3} = - 1$ 无解，求 $n$ 的值．

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4、关于x的方程 $\frac{m + 2}{x + 2} + \frac{m}{x - 1} = \frac{1 - m}{(x + 2) (x - 1)}$ ．

(1)、m为何值时，方程有增根？

(2)、m为何值时，方程无解？

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5、已知，关于 $x$ 的方程： $\frac{3}{x + 1} + \frac{6}{x - 1} = \frac{m x}{(x + 1) (x - 1)}$ ．

(1)、若方程有增根，求 $m$ 的取值；

(2)、若方程无解，求 $m$ 的取值；

(3)、若方程的解为整数，求整数 $m$ 的值．

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6、

(1)、解方程： $\frac{4}{1 - x^{2}} = 1 - \frac{x + 1}{x - 1}$ ．

(2)、关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x - 2} - \frac{m}{2 - x} = 1$ 的解为正数，则m的取值范围

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7、关于 $x$ 的分式方程 $3 - \frac{7}{1 - x} = \frac{m x}{x - 1}$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，解分式方程；

(2)、若这个方程的解为 $x = 2$ ，求 $m$ 的值；

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8、关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - m}{x - 1} = 3$ 的解是正数，求满足条件的整数 $m$ 的最大值．

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9、关于 $x$ 的分式方程 $\frac{5 - x}{x + 2} = \frac{k}{(x - 1) (x + 2)} - 1$ 的解为非负数，求 $k$ 的取值范围．

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10、解方程：
已知关于x的方程： $\frac{x + 1}{x - 3} - \frac{x}{x + 2} = \frac{2 m - x}{x^{2} - x - 6}$ 的解是正数，求m的取值范围

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11、解分式方程．

(1)、 $\frac{9 x - 7}{3 x - 2} - 1 = \frac{4 x - 5}{2 - 3 x}$

(2)、 $\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x^{2} - 9} = 1$ ．

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12、“ $|\begin{matrix} a b \\ c d \end{matrix}|$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： $|\begin{matrix} a b \\ c d \end{matrix}| = a d - b c$ ，例如： $|\begin{matrix} 1 2 \\ 3 4 \end{matrix}| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ ．

(1)、计算 $|\begin{matrix} a + b a - b \\ \frac{1}{2 a^{2} b} \frac{1}{2 a^{2} b} \end{matrix}|$ ；

(2)、求等式 $|\begin{matrix} 2 1 \\ \frac{1}{1 - x} \frac{1}{x - 1} \end{matrix}| = 1$ 中 $x$ 的值．

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13、习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：

习题1：计算 $\frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x + 1}$

解： $\frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x + 1}$

$= \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (x^{2} - 1) + \frac{x}{x + 1} \cdot (x^{2} - 1)$ 第一步

$= 1 + x (x - 1)$ 第二步

$= 1 + x^{2} - 1$ 第三步

$= x^{2}$ 第四步

习题2：解方程 $\frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x + 1} = 1$

解：方程两边同乘 $(x^{2} - 1)$ ，得

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{x (x^{2} - 1)}{x + 1} = x^{2} - 1$ 第一步

$1 + x (x + 1) = x^{2} - 1$ 第二步

$x = - 2$ 第三步

经检验， $x = - 2$ 是原方程的解．第四步

(1)、分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；

(2)、从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．

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14、

(1)、 $\frac{2}{2 x - 1} = \frac{4}{4 x^{2} - 1}$

(2)、 $\frac{2 x}{x + 3} + 1 = \frac{7}{2 x + 6}$

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15、下列关于x的方程中（1） $\frac{1}{x} = 1$ ；（2） $\frac{2 x + 1}{3} = 1 + \frac{1 - 3 x}{4}$ ；（3） $\frac{x}{b} + \frac{x}{b} = 1$ ；（4） $\frac{x}{a} - 3 = a + 4$ ；（5） $\frac{2 x + 3 y}{π} + 1 = 0$ ，其中是分式方程的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、下列方程不是分式方程的是（）

A、 $\frac{1}{x} + x = 2 + 3 x$ B、 $\frac{x}{2 x + 3} =$ $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{x}{π} -$ $\frac{x + 1}{3} = 4$ D、 $\frac{1}{x - 5} + \frac{4}{2 x + 3} = 1$

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17、下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是（只填序号）
① $\frac{a x + b}{2} = 5$ ；② $\frac{1}{4} (x + b) + 2 = \frac{x + 5}{3}$ ；③ $\frac{m + x}{a} + 2 = \frac{m - x}{a}$ ；④ $\frac{2 x}{2 x - 1} = \frac{2}{x}$ ；⑤ $1 + \frac{1}{x} = 2 - \frac{3}{x}$ ；⑥ $\frac{a + b}{x} = \frac{a + b}{a}$ ；⑦ $\frac{1}{a} - \frac{1}{x} = \frac{1}{b} - \frac{b}{x}$ ；⑧ $\frac{x - b}{a} = 2 + \frac{x + b}{a}$ ；⑨ $\frac{x - n}{x + m} + \frac{x + m}{x - n} = 2$ ．

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18、有下列方程：
① $\frac{2}{3} x^{2} = 1$ ；② $\frac{2}{π} - x^{2} = 1$ ；③ $\frac{2}{3 x} = x$ ；④ $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}$ ；⑤ $\frac{1}{x} = 2$ ；⑥ $2 x - 3 y = 0$ ；⑦ $\frac{x + 1}{2} - 3 = \frac{2 x}{7}$ ；⑧ $\frac{x + 1}{x - 2} + 3$ ；⑨ $\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x}$ ，其中是整式方程的是；是分式方程的是．（填序号）

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19、请阅读求绝对值不等式 $|x| ＜ 3$ 和 $|x| ＞ 3$ 的解集过程．对于绝对值不等式 $|x| ＜ 3$ ，从图1的数轴上看：大于 $- 3$ 而小于 $3$ 的绝对值是小于 $3$ 的，所以 $|x| ＜ 3$ 的解集为 $- 3 ＜ x ＜ 3$ ；对于绝对值不等式 $|x| ＞ 3$ ，从图2的数轴上看：小于 $- 3$ 而大于 $3$ 的绝对值是大于 $3$ 的，所以 $|x| ＞ 3$ 的解集为 $x ＜ - 3$ 或 $x ＞ 3$ ．

(1)、解绝对值不等式 $|2 x - 5| > 3$ 的解集．

(2)、已知关于x ， y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - y = 4 m - 5 \\ x + 4 y = - 7 m + 2 \end{matrix}$ 的解满足 $|x + y| \leq 3$ ，其中 $m$ 是负整数，求 $m$ 的值．

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20、已知关于x、y的方程组 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = m + 2 \\ 2 x + y = m - 1 \end{matrix}$ ．

(1)、若方程组的解满足 $x - y = - 1$ ，求m的值；

(2)、若 $x 、 y 、 m$ 都是非负数，且 $n = 2 x + 3 y - m$ ，求n的取值范围；

(3)、无论有理数m取何值，关于x、y的方程 $2 x + y - m x + m = 0$ 总有一个固定的解，请直接写出这个固定解．

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