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1、《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每 $2h$ 记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为 $120 cm$ ），得到如表：
供水时间 $x (h)$
0
2
4
6
8
箭尺读数 $y (cm)$
6
18
30
42
54

(1)、如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间 $x (h)$ ，纵轴表示箭尺读数 $y (cm)$ ，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；

(2)、请根据（1）中的数据确定y与 $x$ 之间的函数表达式（写过程）；

(3)、应用上述得到的规律计算：
如果本次实验记录的开始时间是上午 $8 : 00$ ，那么当箭尺读数为 $90 cm$ 时是几点钟？

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2、高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往 $M$ 市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示：
车型
A
B
C
最大装载量（吨）
5吨
3吨
2吨
运输费用（元/辆）
2000
1500
800
规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时 $B$ 型车的装载量不超过 $A$ 型车和 $C$ 型车的装载量总和，同时 $A$ 型车的数量不超过6辆，设这次运输使用 $A$ 型车 $x$ 辆， $B$ 型车 $y$ 辆，根据以上信息回答下列问题：

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出 $x$ 的取值范围；

(2)、设此次转运的利润为 $Q$ （元），求 $Q$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润 $=$ 转运初始总费用 $-$ 运输总费用）

(3)、由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆 $A$ 型车的运输费用要增加 $a$ 元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出 $a$ 的值．

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3、小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度 $x (cm)$ 与双层部分的长度 $y (cm)$ 满足一次函数关系，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度 $x / cm$
…
60
70
80
90
100
110
…
双层部分的长度 $y / cm$
…
40
35
30
25
20
15
…

(1)、请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想；

(2)、当挎带的长度为 $110 cm$ 时，此时双层部分的长度为 $cm$ ；

(3)、若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为 $126 cm$ ，调节挎带长度的方法是．

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4、 $A$ 公司电商平台，在 $2024$ 年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量 $y$ （件）与销售单价售价 $x$ （元/件）之间的函数图象如图所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(2)、若该商品进价为 $30$ （元/件）
①当售价 $x$ 为多少元时，周销售利润 $w$ 最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了 $a$ （元/件） $(a > 0)$ ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$ 不得超 $80$ （元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量 $y$ 与售价 $x$ 仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是 $6300$ 元，求 $a$ 的值．

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5、如图，已知一次函数 $L_{1} : y = - \frac{1}{2} x + 5$ 与 $L_{2} : y = 2 x$ 相交于点C ，现有一次函数 $L_{3} : y = k x + 2$ ，若 $L_{1}$ ， $L_{2}$ ， $L_{3}$ 不能围成三角形，则 $k$ 的值为．

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6、已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ 与 $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ 的自变量x与因变量 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的部分对应数值如下表，则关于x ， y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} y = k_{1} x + b \\ y = k_{2} x + b \end{matrix}$ 的解为（）
x
…
$- 1$
0
1
2
…

$y_{1}$
…

$- 3$
1
5
9
…

$y_{2}$
…

$- 7$

$- 3$
1
5
…

A、 $\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 3 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 5 \end{matrix}$ D、无解

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7、已知一次函数 $y_{1} = m x + n$ 和 $y_{2} = a x + b$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a b > 0$ ；② $a + b < m + n$ ； $③$ $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 是直线 $y_{2} = a x + b$ 上不重合的两点，则 $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ；④ $2 (a - m) = b - n$ ．其中正确的有（填写序号）．

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8、如图，直线 $l_{1}$ ： $y_{1} = a x (a \neq 0)$ 与直线 $l_{2}$ ： $y_{2} = \frac{1}{2} x + b (b \neq 0)$ 交于点 $P$ ，有四个结论：① $a < 0$ ② $a > 0$ ③当 $x > 0$ 时， $y_{1} > 0$ ④当 $x < - 2$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

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9、如图，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象与x轴，y轴分别交于点 $(2,0)$ ，点 $(0,3)$ ，有下列结论：①当 $x < 0$ 时， $y < 3$ ；②关于x的方程 $k x + b = 3$ 的解为 $x = 0$ ；③当 $x > 2$ 时， $y < 0$ ；④关于x的方程 $k x + b = 0$ 的解为 $x = 2$ ；其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②④

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10、如图，直线 $y = k x + 6$ 与x轴、y轴分别相交于点E、F ．点E的坐标为 $(- 6,0)$ ，点A的坐标为 $(- 4,0)$ ．点 $P (x, y)$ 是直线 $y = k x + 6$ 上的一个动点．

(1)、求k的值；

(2)、当点 $P (x, y)$ 在第二象限时，
①试写出 $△ O P A$ 的面积S与x的函数关系式；
②当 $△ O P A$ 的面积是10时，求此时P点的坐标．

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11、已知：一次函数 $y = k x + 4$ 的图象经过点 $A (- 3, - 2)$ ．

(1)、求这个一次函数的表达式；

(2)、在直角坐标系中画出这个一次函数的图象；

(3)、函数值y随着x值的增大而．（填“增大”或“减小”）．

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12、已知 $y - 2$ 与 $x + 1$ 成正比例，当 $x = 7$ 时， $y = 6$ ，

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当 $y = - 2$ 时，求 $x$ 的值；

(3)、若点 $P (- 6, m + 4)$ 在该函数图象上，求 $m$ 的值．

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13、已知一次函数 $y = - x$ 的图象向上平移 $2$ 个单位后，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A 、 B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积等于．

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14、一次函数 $y = x - 1$ 的图象平移后经过点 $(- 4,2)$ ，则平移后的函数解析式为（）

A、 $y = x - 6$ B、 $y = - x - 2$ C、 $y = x + 6$ D、 $y = x - 8$

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15、若将直线 $y = - 2 x - 3$ 向下平移3个单位长度后得到直线 $y = k x + b$ ，则下列关于直线 $y = k x + b$ 说法正确的是（）

A、经过第一、二、四象限 B、与 $x$ 轴交于 $(- 2,0)$ C、与 $y$ 轴交于 $(0,6)$ D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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16、在平面直角坐标系中画出函数 $y = 2 x - 4$ 的图象，并完成下列问题：

(1)、函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是；

(2)、观察函数 $y = 2 x - 4$ 的图象，当自变量 $x =$ 时， $y = - 4$ ；当自变量时， $y \geq - 4$ ．

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17、已知一次函数 $y = (1 - 4 k) x + 3 k - 6$ ，请解答下列问题：

(1)、 $k$ 为何值时，该函数的图象与直线 $y = - 3 x + 1$ 平行？

(2)、 $k$ 为何值时， $y$ 随 $x$ 增大而增大？

(3)、 $k$ 为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？

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18、已知一次函数 $y = (a - 2) x + a^{2} - 4$ （ $a$ 为常数）．

(1)、若 $a = 3$ ，则这个函数图象不经过第象限；

(2)、若这个函数的图象经过原点，求 $a$ 的值．

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19、某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 $y = |x - 1|$ 的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整：

(1)、列表：

$x$
…

$- 1$
0
1
2
3
…

$y$
…

$b$
1
0
1
2
…
其中， $b =$ ；

(2)、描点并连线；
在下面平面直角坐标系中画出函数 $y = |x - 1|$ 的图象；

(3)、根据图象直接写出函数 $y = |x - 1|$ 图象的两条性质．

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20、当 $k =$ 时，函数 $y = (k + 1) x^{2 - |k|} + 4$ 是一次函数．已知点 $(- 4, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ 都在这个一次函数图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是．

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车型	A	B	C
最大装载量（吨）	5吨	3吨	2吨
运输费用（元/辆）	2000	1500	800

单层部分的长度 $x / cm$	…	60	70	80	90	100	110	…
双层部分的长度 $y / cm$	…	40	35	30	25	20	15	…

x	…	$- 1$	0	1	2	…
$y_{1}$	…	$- 3$	1	5	9	…
$y_{2}$	…	$- 7$	$- 3$	1	5	…

供水时间 $x (h)$	0	2	4	6	8
箭尺读数 $y (cm)$	6	18	30	42	54