相关试卷

1、在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题：

(1)、我们用如图所示的“ $Z$ ”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“ $Z$ ”字型框架中的五个数的和与 $C$ 位上的数的关系．
例如： $5 + 6 + 13 + 20 + 21 =$ ， $2 + 3 + 10 + 17 + 18 =$ ；
不难发现，其结果都等于；

(2)、设“ $Z$ ”字型框架中位置 $C$ 上的数为 $x$ ，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明；

(3)、在某月历中，“ $Z$ ”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间 $C$ 位上的数 $c =$ ．

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2、小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决：

(1)、用表格梳理出数量关系如下：

每只重量（两）
数量（只）
总重量（两）
雀
5
燕
6
相互关系
互换1只一样重
共16
每只重量 $\times$ 只数 $=$ 总重量．

(2)、设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量；

(3)、列方程(组)：
从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量．
①尝试设一个未知数解决．
如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为．同样也可设5只雀的总重量(略)；
②尝试设两个未知数解决，
如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)；
反思提炼：
经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此是解决含有多个未知数问题的重要工具．

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3、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表：
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量
单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分
2
超出6立方米不超出10立方米的部分
4
超出10立方米的部分
8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为 $2 \times 6 + 4 \times (8 - 6) = 20$ （元）
请根据上表的内容解答下列问题：

(1)、该户居民2月份交水费48元，2月份用水量为立方米？

(2)、若该户居民3月份用水a立方米（其中 $a > 10$ ），请用含a的代数式表示应收水费元．

(3)、该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份的用水量超过了4月份的用水量），两个月共交水费44元，求该户居民4、5月份各用多少立方米？

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 16 cm, B C = 12 cm, A C = 20 cm$ ， P、Q是 $△ A B C$ 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿 $A \to B$ 方向运动，且速度为每秒1 $cm$ ，点Q从点B开始沿 $B C \to C A$ 方向运动，且速度为每秒2 $cm$ ， P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．

(1)、 $B P =$ $cm$ （用含t的式子表示）；

(2)、当点Q在边 $B C$ 上运动时，通过计算说明 $P Q$ 能否把 $△ A B C$ 的周长平分？

(3)、当点Q在边 $C A$ 上运动时，若 $△ B C Q$ 是以 $C Q$ 为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：．

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5、某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有三种收费方式．详情见下表：

收费方式	详细介绍
日卡	日卡一张 $30$ 元
会员卡	办卡需 $210$ 元，每活动 $1$ 小时收费 $4$ 元
普通卡	进入文体中心要收取 $10$ 元/日，可免费文体活动 $2$ 小时，后续收费 $5$ 元/小时

（注：不足一个小时的按一小时计算）

(1)、小明打算这周六去文体中心活动

6

小时，最少需要花费元；

(2)、小明打算一个月（

30

天）都去文体中心活动，每天活动的时间为

x

小时（

x

为正整数，且

x \geq 2

）．

①如果小明选择办会员卡一个月需要花费_▲_元；选择办普通卡一个月需要花费_▲_元：（用含 $x$ 的代数式表示）

②对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？

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6、解方程：

(1)、 $6 y - 7 = 4 y - 5$

(2)、 $4 y - 3 (2 + y) = 5 - 2 (1 - 2 y)$

(3)、 $x - \frac{1 - x}{3} = \frac{x + 2}{6} - 1$

(4)、 $\frac{x}{0.7} - \frac{0.17 - 0.2 x}{0.03} = 1$

(5)、 $\frac{1}{3} [\frac{1}{4} (\frac{x + 1}{5} - 1)] = 2$

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7、下面是小明解方程 $\frac{2 x - 1}{4} = 1 - \frac{3 - x}{8}$ 的过程：
解：去分母，得 $2 (2 x - 1) = 8 - (3 - x)$ ，（第一步）
去括号，得 $4 x - 2 = 8 - 3 + x$ ，（第二步）
移项，得 $4 x + x = 8 - 3 + 2$ ，（第三步）
合并同类项，得 $5 x = 7$ ，（第四步）
系数化为1，得 $x = \frac{7}{5}$ ．（第五步）根据解答过程完成下列任务．
任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是；
②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；
任务二：除上述错误外，请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：；
任务三：请你写出该方程的正确解．

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8、下列结论：①若 $a + b = 0 ， a \neq b$ ，则 $\frac{b}{a} (a + 2) + \frac{a}{b} (b - 3) = 1$ ；②若 $a = b$ ，则 $\frac{a}{c^{2}} + 1 = \frac{b}{c^{2}} + 1$ ；③若 $x < y < 0 < z$ ， $|y| < |z| < |x|$ ，则 $| x - z | - | x + y | - | z + y |$ 的值为0；④已知 $2 x - 4 y = 2$ ，则 $y - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} = 0$ ；⑤关于 $x$ 的方程 $(\frac{3}{a} - \frac{4}{b}) x - 5 = 0$ 无解，则关于 $y$ 的方程 $3 a y - 4 b = 0$ 的解为 $y = \frac{16}{9}$ ，则正确的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9、下列等式变形正确的是（）

A、若 $3 x + 2 = 2 x - 2$ ，则 $x = 0$ B、若 $\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 1$ ，则 $2 x + 3 (x - 1) = 1$ C、若 $5 x - 6 = 2 x + 8$ ，则 $5 x + 2 x = 8 + 6$ D、若 $\frac{0.04 x + 0.22}{0.05} - \frac{0.5 - 0.2 x}{0.3} = 0.2$ ，则 $\frac{4 x + 22}{5} - \frac{5 - 2 x}{3} = 0.2$

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10、下列等式变形：①若 $a = b$ ，则 $a + x = b + x$ ；②若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ ；③若 $4 a = 3 b$ ，则 $4 a - 3 b = 1$ ；④若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ ，则 $4 a = 3 b$ ；⑤若 $\frac{2 x}{m} = \frac{3 y}{m}$ ，则 $2 x = 3 y$ ．其中一定正确的是（填序号）．

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11、下列各变形中：
①由 $x = y$ ，可得到后 $\frac{x}{a} = \frac{y}{a}$ ；
②由 $x + 3 = y + 3$ ，可得到 $x = y$ ；
③由 $\frac{x}{a} = \frac{y}{a}$ ，可得到 $x = y$ ；
④由 $\frac{x}{0.3} - \frac{2 x - 1}{0.7} = 5$ ，可得到 $\frac{10 x}{3} - \frac{20 x - 10}{7} = 50$ ．其中一定正确的有（填序号）．

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12、有下列变形： $①$ 若 $x = y$ ，则 $m x = m y$ ； $②$ 若 $x = y$ ，则 $\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$ ； $③$ 若 $a x = a y$ ，则 $x = y$ ； $④$ 若 $\frac{x}{c} =$ $\frac{y}{c}$ ，则 $x = y$ ．其中变形正确的是．（请填写序号）

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13、如果方程 $- m (x - 1) = 1 - 3 x$ 的解为 $x = \frac{1}{2}$ ，那么关于 $y$ 的方程 $m (y + 5) = 2 m - (2 y - 1)$ 的解为（）

A、 $y = 4$ B、 $y = 3$ C、 $y = 2$ D、 $y = 1$

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14、若关于x的一元一次方程 $a x = b$ 的解为 $x = b - a$ ；则称该方程为“奇异方程”，例如： $2 x = 4$ 的解为 $x = 4 - 2$ ，则该方程 $2 x = 4$ 是“奇异方程”已知关于x的一元一次方程 $3 x = m + 5$ 是奇异方程，则m的值为．

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15、我们规定关于 $x$ 的一元一次方程 $a x = b$ 的解为 $x = b - a$ ，则称该方程是“差解方程”，例如： $3 x = 4.5$ 的解为 $x = 4.5 - 3 = 1.5$ ，则方程 $3 x = 4.5$ 就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：

(1)、已知关于 $x$ 的一元一次方程 $6 x = m$ 是“差解方程”，则 $m =$ ．

(2)、已知关于 $x$ 的一元一次方程： $5 x = m n - m$ 和 $- 3 x = m n - n$ 都是“差解方程”，则代数式 $4 (m n - m) - 16 {(m n - n)}^{2} =$ ．

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16、如果 $x = - 8$ 是方程 $3 x + 8 = \frac{x}{4} - a$ 的解，则 $a$ 的值为（）．

A、 $- 14$ B、14 C、30 D、 $- 30$

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17、如图，在边长为1的正方形组成的网格中， $△ A O B$ 的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是 $A (3,2)$ ， $B (1,3)$ ， $△ A O B$ 关于y轴对称的图形为 $△ A_{1} O B_{1}$ ．

(1)、画出 $△ A_{1} O B_{1}$ 并写出点 $B_{1}$ 的坐标为_▲_

(2)、写出 $△ A_{1} O B_{1}$ 的面积为

(3)、在x轴上找出点P ，使得 $P A + P B$ 的值最小，并写出最小值为_▲_．（保留作图痕迹）

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18、数轴上有线段 $A B$ （点A在点B的左侧），C为线段 $A B$ 上一点，且 $A B = 30 ， A C = B C + 10$ ．

(1)、求线段 $A C ， B C$ 的长；

(2)、若点M为直线 $A B$ 上的一点，线段 $A M$ 的中点为N ，且 $A M - B M = \frac{1}{2} C N$ ，求线段AM的长．

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19、如图，已知点 $C$ ， $D$ 是线段 $A B$ 上两点， $A C : C D : D B = 3 : 4 : 5$ ， $E$ 是线段 $C D$ 的中点，点 $F$ 是线段 $D B$ 的三等分点 $(D F = \frac{1}{3} D B)$ ．

(1)、若 $A B = 60 cm$ ，求 $A E$ 的长；

(2)、若 $E F = 11 cm$ ，求 $A B$ 的长．

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20、【问题情境】已知A ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在同一直线上，线段 $A B = 16$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上．

(1)、【初步应用】如图1，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点， $C D = \frac{1}{3} B D$ ，求线段 $A D$ 的长度；

(2)、【迁移应用】若点 $C$ 是直线 $A B$ 上的一点，且满足 $A C : B C = 4 : 1$ ， $B D = 4$ ，求线段 $C D$ 的长度．

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	每只重量（两）	数量（只）	总重量（两）
雀		5
燕		6
相互关系		互换1只一样重	共16

收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量	单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分	2
超出6立方米不超出10立方米的部分	4
超出10立方米的部分	8