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1、如图，已知 $A B$ $∥ C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $C D$ 上，点 $G$ ， $H$ 在两条平行线 $A B$ ， $C D$ 之间， $∠ A E G$ 与 $∠ F H G$ 的平分线交于点 $M$ ．若 $∠ E G H = 84 °$ ， $∠ H F D = 20 °$ ，则 $∠ M$ 的度数为（）．

A、 $64 °$ B、 $54 °$ C、 $42 °$ D、 $32 °$

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2、如图，已知 $A D ∥ C E$ ， ∠BCF＝∠BCG ， CF与∠BAH的平分线交于点F ，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．

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3、如图， $A B ∥ D E$ ， $B C ⊥ C D$ ，设 $∠ A B F = α$ ， $∠ C D E = β$ ，则 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系正确的是（）

A、 $α - β = 9 0^{∘}$ B、 $α + β = 9 0^{∘}$ C、 $α + β = 18 0^{∘}$ D、 $α$ 与 $β$ 没有数量关系

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4、已知：如图， $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 分别交 $A B ， C D$ 于点G，H，点P为直线 $E F$ 上的点，连接 $A P ， C P$ ．

(1)、如图1，点P在线段 $G H$ 上时，请你直接写出 $∠ B A P$ ， $∠ D C P$ ， $∠ A P C$ 的数量关系；

(2)、如图2，点P在 $H G$ 的延长线上时，连接 $C P$ 交 $A B$ 于点Q，连接 $H Q ， A C$ ，若 $∠ A C P + ∠ P H Q = ∠ C Q H$ ，求证： $A C ∥ E F$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3， $C K$ 平分 $∠ A C P$ ， $G K$ 平分 $∠ A G P$ ， $G K$ 与 $C K$ 交点K，连接 $A K$ ，若 $∠ P Q H = 4 ∠ P C K + 2 ∠ P H Q$ ， $∠ C K G = ∠ C H Q$ ， $∠ A K C + ∠ K A C = 159 °$ ，求 $∠ B A C$ 的大小．

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5、已知：直线 $A B$ 平行直线 $C D$ ，点N、点E在直线 $C D$ 上，点H、点M在直线 $A B$ 上， $∠ D N H = 2 ∠ A M E$ ，直线 $E M$ 交直线 $N H$ 于点P．

(1)、如图，求证： $∠ M P H = ∠ A M E$ ．

(2)、如图，以点N为圆心顺时针旋转直线 $N H$ 交直线 $A B$ 于点G，以点M为圆心顺时针旋转直线 $M E$ 交直线 $C D$ 于点F， $∠ E M F = ∠ H N G + 30 °$ ，当 $N G ∥ M F$ 时，求 $∠ A M E$ 的度数．

(3)、在（2）的条件下，如图，直线 $M E$ 交直线 $N G$ 于点R，直线 $N H$ 交直线 $F M$ 于点S， $∠ N R M$ 的平分线所在直线与 $∠ N S F$ 的平分线所在直线交于点K，若 $∠ H N G = 60 °$ ，当点N在线段 $E F$ 上移动时，求 $∠ R K S$ 的度数．

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6、已知，如图 $1$ ，射线 $P E$ 分别与直线 $A B$ ， $C D$ 相交于 $E$ ， $F$ 两点， $∠ P F D$ 的平分线与直线 $A B$ 相交于点 $M$ ，射线 $P M$ 交 $C D$ 于点 $N$ ，设 $∠ P F M = α °$ ， $∠ E M F = β °$ ，且 $\sqrt{80 - 2 α} + | β - 40 | = 0$ ．

(1)、 $α =$ ， $β =$ ；直线 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系是．

(2)、如图 $2$ ，若点 $G$ ， $H$ 分别在射线 $M A$ 和线段 $M F$ 上，且 $∠ M G H = ∠ P N F$ ，试找出 $∠ F M N$ 与 $∠ G H F$ 之间存在的数量关系，并证明你的结论．

(3)、若将图中的射线 $P M$ 绕着端点 $P$ 逆时针方向旋转（如图 $3$ ），分别与 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $M_{1}$ 和点 $N_{1}$ 时，作 $∠ P M_{1} B$ 的角平分线 $M_{1} Q$ 与射线 $F M$ 相交于点 $Q$ ，问在旋转的过程中 $\frac{∠ F P N_{1}}{∠ Q}$ 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

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7、如图， $A B ∥ D C$ ， $E D ∥ B C$ ， $A E ∥ B D$ ，那么图中和 $△ A B D$ 面积相等的三角形（不包括 $△ A B D$ ）有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、在同一平面内，设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是三条互相平行的直线，已知 $a$ 与 $b$ 的距离为 $4 c m$ ， $b$ 与 $c$ 的距离为 $1 c m$ ，则 $a$ 与 $c$ 的距离为（）

A、 $1 c m$ B、 $3 c m$ C、 $5 c m$ 或 $3 c m$ D、 $1 c m$ 或 $3 c m$

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9、在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若 $A B ∥ C D$ ，点P在 $A B$ 、 $C D$ 内部，探究 $∠ B$ ， $∠ D$ ， $∠ B P D$ 的关系．小明只完成了（1）的部分证明．

(1)、请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点 $P$ 作 $P E ∥ A B$ ．
∵ $P E ∥ A B$ ， $A B ∥ C D$
∴ $∥$ （）
∴ $∠ D =$ （）
又∵ $P E ∥ A B$
∴ $∠ B = ∠ B P E$
∴ $∠ B P D =$ ．

(2)、小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作 $P E ∥ A B$ 来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若 $A B ∥ C D$ ，点P在 $A B$ 、 $C D$ 外部， $∠ B$ ， $∠ D$ ， $∠ B P D$ 的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．

(3)、探究：若 $A B ∥ C D$ ，如图3，图4，请直接写出小于平角的 $∠ A B P$ ， $∠ C D P$ ， $∠ B P D$ 之间的数量关系．

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10、如图所示，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，则 $∠ x$ 、 $∠ y$ 、 $∠ z$ 三者之间的关系是．

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11、如图1，直线 $G H$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于点E，F（点F在点E的右侧），若 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C D$ ；

(2)、如图2，点 $M$ ， $N$ 在 $A B$ ， $C D$ 之间，且位于 $E F$ 的两侧，连接 $M N$ ，若 $3 ∠ M = 2 ∠ N$ ，则 $∠ A E M$ ， $∠ N F D$ ， $∠ N$ 三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．

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12、

(1)、如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东 $60 °$ ，如果A、B两地同时开工，直接写出 $∠ α$ 为多少度时，才能使公路准确接通？

(2)、如图2，经测量，B处在A处的南偏西 $56 °$ 的方向，C处在A处的南偏东 $17 °$ 的方向，C处在B处的北偏东 $85 °$ 的方向，求 $∠ C$ 的度数．

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13、如图，一条街道有两个拐角 $∠ A B C$ 和 $∠ B C D$ ，已知 $A B ∥ C D$ ，若 $∠ A B C = 150 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $150 °$

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14、图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座 $A O ⊥ O E$ 于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的 $∠ M D N$ 始终保持不变．如图2，调节台灯使光线 $D N ∥ B A$ ，此时 $∠ B A O = 130 °$ ，且CD的延长线恰好是 $∠ M D N$ 的角平分线，则 $∠ M D N =$ ．

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15、如图， $A B$ $∥$ $D E$ ， $B C$ $∥$ $E F$ ，若 $∠ E = 118 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $62 °$ B、 $72 °$ C、 $102 °$ D、 $118 °$

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16、如图，直线 $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ E F C$ 等于（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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17、如图，直线a，b被c所截，且 $a ∥ b$ ， $a ⊥ c$ ，则 $∠ 1$ 的度数为．

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18、已知， $∠ A B C = ∠ A D C$ ， $B F$ 、 $D E$ 分别平分 $∠ A B C$ 与 $∠ A D C$ ，且 $∠ 1 = ∠ 3$ ．求证： $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$ ．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明： $∵$ $B F ， D E$ 分别平分 $∠ A B C$ 与 $∠ A D C$ ，（已知）
$∴$ $∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A D C$ ．（）．
$∵$ $∠ A B C = ∠ A D C$ ，（）
$∴$ $∠ 1 = ∠ 2$ ，（）
$∵$ $∠ 1 = ∠ 3$ ，（已知）
$∴$ $∠ 2 = ∠ 3$ ，（等量代换）
$∴$ $A B ∥$ ，（）
$∴$ $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$ ．（）

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19、完成下面的证明：
如图所示， $A B ∥ C D$ ，求证： $∠ B E D = ∠ B + ∠ D$ ．
证明：过E作 $E F ∥ A B$ ，
∵ $A B ∥ C D$ ，
∴ $∥$ ，
∴ $∠ D =$ ．
∵ $A B ∥ E F$ （已作），
∴ $∠ B =$ ．
又∵ $∠ B E D = ∠ B E F +$ ，
∴ $∠ B E D = ∠ B + ∠ D$ ．

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20、如图，由 $A B ∥ C D$ ，可以得到（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 4$ D、 $∠ 3 = ∠ 4$

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