相关试卷

1、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} + \sqrt{3} = 4$

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2、将一副直角三角板 $A B C$ 和 $D E F$ 如图（1）放置，此时 $F, B, E, C$ 四点在同一条直线上，点 $A$ 在边 $D F$ 上，其中 $∠ A B C = ∠ D E F = 90 °$ ， $∠ E D F = 30 °$ ， $∠ B A C = 45 °$ ．

(1)、求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、将图（1）中的三角板 $D E F$ 绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 $a (0 ° < α < 360 °)$ 后，记为三角板 $D^{'} E^{'} F^{'}$ ，设旋转的时间为t秒．
①如图（2），当旋转至 $D^{'} E^{'} ⊥ A C$ ，求a的值；
②若在旋转过程中，三角板 $D^{'} E^{'} F^{'}$ 的某一边恰好与 $B C$ 所在的直线平行，直接写出t的值．

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3、我们知道，将完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当地变形，可以解决很多数学问题，请你观察、思考，并解决以下问题：

(1)、若 $m + n = 9$ ， $m n = 10$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ =_____________；

(2)、如图，某农家乐准备在原有长方形用地（即长方形 $A B C D$ ）上进行装修和扩建，先用长为 $120 m$ 的装饰性篱笆围起该长方形作为院子，再以 $A D$ ， $C D$ 为边分别向外扩建正方形 $A D C H$ ，正方形 $D C E F$ 的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为 $2000 m^{2}$ ，求原有长方形用地 $A B C D$ 的面积．

(3)、若 ${(m - 2024)}^{2} + {(m - 2026)}^{2} = 28$ ，求 ${(m - 2025)}^{2}$ 的值．

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4、如图， $A B ∥ C D$ ， $O E$ 平分 $∠ A O C$ ， $C F$ 平分 $∠ O C D$ ，试证明 $∠ E O F + ∠ O F C = 180 °$ ．根据图形填空：
证明：∵ $A B ∥ C D$ （已知），
∴ $∠ A O C =$ ________（____________________）．
∵ $O E$ 平分 $∠ A O C$ （已知），
∴ $∠ E O C = \frac{1}{2}$ ________ (____________________)．
同理， $∠ O C F = \frac{1}{2}$ ________，
∴ $∠ E O C = ∠ O C F$ （____________________），
∴ $O E$ $∥$ ________（____________________），
∴ $∠ E O F + ∠ O F C = 180 °$ （两直线平行，同旁内角互补）．

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5、先化简，再求值． $x (4 x - 1) - (2 x - 3) (2 x + 3) + {(x - 1)}^{2}$ ，其中 $x = 2$ ．

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6、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， $B D$ 、 $B E$ 为折痕，若 $∠ A B E = 18 °$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为．

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7、如图，直线 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，点O在直线 $E F$ 上，下列结论正确的是（）

A、 $∠ α + ∠ β - ∠ γ = 90 °$ B、 $∠ β + ∠ γ - ∠ α = 180 °$ C、 $∠ α + ∠ γ - ∠ β = 180 °$ D、 $∠ α + ∠ β + ∠ γ = 180 °$

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8、如图， $l ∥ m$ ，矩形 $A B C D$ 的顶点 $B$ 在直线 $m$ 上，则 $∠ α =$ （）．

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

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9、下列各式能用平方差公式计算的（）

A、 $(3 x + 5 y) (3 x - 5 y)$ B、 $(1 - 5 x) (5 x - 1)$ C、 $(- x + 2 y) (x - 2 y)$ D、 $(x + y) (y + x)$

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10、下列各式计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{2} = 2 x^{4}$ B、 ${(3 y)}^{2} = 6 y^{2}$ C、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$ D、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$

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11、为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴．

(1)、【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是；（填序号）

(2)、如图1，在平面直角坐标系中，若点 $A (1, 1)$ ， $B (5, 1)$ ， $C (1, 3)$ ， $D$ 组成的四边形为对称四边形，则满足点 $D$ 的个数为；

(3)、【性质探究】如图2，对称四边形 $A B C D$ 关于直线 $A C$ 对称，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $A E = E O = O C = 2$ ，求对称四边形 $A B C D$ 的面积．

(4)、【拓展应用】如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $E$ 为对角线 $B D$ 上一点， $△ A E D$ 沿边 $A E$ 折叠得到 $△ A E F$ ，延长 $A E$ 交射线 $D C$ 于 $G$ ，则当 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 组成的四边形为对称四边形时，求 $\frac{D G}{G C}$ 的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 中点， $E$ 为 $C D$ 中点，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $A E$ 延长线于点 $F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、证明：四边形 $D C F B$ 为菱形；

(2)、 $A F$ 与 $B C$ 相交于点 $G$ ，若 $A C = 12$ ， $B F = 10$ ，求 $G C$ 的长．

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14、第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理．
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
合格率
优秀率
九年级一班
7
6
$b$
$90 %$
$30 %$
九年级二班
7.3
$a$
8
$c$
$20 %$
根据上述信息回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(2)、在所抽取同学的成绩中，每班成绩前 $50 %$ 的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号．请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由．

(3)、请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可）

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15、如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点 $E$ 为 $C D$ 中点，点 $F$ 在 $A D$ 延长线上，且 $D F = C E$ ，连接 $B E$ 并延长，交 $C F$ 于点 $G$ ，则 $E G =$ ．

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16、如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数 $y = a x$ 与反比例函数 $y = \frac{2 - a}{x}$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ ．若 $A$ 的横坐标为1，则 $B$ 的坐标为．

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17、如图，将正方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使得点 $A$ 与对角线的交点 $O$ 重合， $E F$ 为折痕，则 $\frac{E F}{C G}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、如图，平行于主光轴 $P Q$ 的光线 $A B$ 和 $C D$ 经过凸透镜折射后，折射光线 $B E$ ， $D F$ 交于主光轴上一点G，若 $∠ A B E = 140 °$ ， $∠ C D F = 160 °$ ，则 $∠ B G D$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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19、对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为 $S_{0}$ ，定义 $\frac{S_{0}}{S - S_{0}}$ 为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的 $△ A B C$ 沿直线l折叠，重合部分的图形为 $△ C^{'} D E$ ，将 $△ C^{'} D E$ 的面积记为 $S_{0}$ ，则称 $\frac{S_{0}}{S - S_{0}}$ 为 $△$ ABC关于直线l的对称度．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 3)$ ， $B (- 3, 0)$ ， $C (3, 0)$ ．

(1)、过点 $M (m, 0)$ 作垂直于x轴的直线 $l_{1}$ ，
①当 $m = 1$ 时， $△ A B C$ 关于直线 $l_{1}$ 的对称度的值是：
②若 $△ A B C$ 关于直线 $l_{1}$ 的对称度为1，则m的值是．

(2)、过点 $N (0, n)$ 作垂直于y轴的直线 $l_{2}$ ，求 $△ A B C$ 关于直线 $l_{2}$ 的对称度的最大值．

(3)、点 $P (- 4, 0)$ 满足 $A P = 5$ ，点Q的坐标为 $(t, 0)$ ，若存在直线，使得 $△ A P Q$ 关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．

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20、弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直角坐标系 $x O y$ 中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．甲站在原点处，从离地面 $1 m$ 的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着地前抛物线的函数解析式为 $y = a {(x - 2)}^{2} + 1.8$ ．

(1)、求a的值及 $O B$ 的长．

(2)、若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低 $1 m$ ．
①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式．
②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为 $0.2 m$ ，高 $0.6 m$ 的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平距离为 $d m$ ．若要使得游戏成功，则d的取值范围是________．

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班级	平均数/分	中位数/分	众数/分	合格率	优秀率
九年级一班	7	6	$b$	$90 %$	$30 %$
九年级二班	7.3	$a$	8	$c$	$20 %$