相关试卷

1、阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如 $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y$ ，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y$
$= (x^{2} - 4 y^{2}) + (2 x - 4 y)$ …分组
$= (x - 2 y) (x + 2 y) + 2 (x - 2 y)$ …组内分解因式
$= (x - 2 y) (x + 2 y + 2)$ …整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、按上述方法因式分解：
① $x^{2} y - 4 y - 2 x^{2} + 8$ ；
② $m^{3} - 3 m^{2} - 9 m + 27$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的三边，且 $b^{2} + 2 a b = c^{2} + 2 a c$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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2、阅读材料A：利用完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ ，可以解决很多的数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：∵ $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，
∴ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ，
即： $a^{2} + b^{2} + 2 = 9$ ． ∴ $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式 $(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：令 $x^{2} - 2 x = y$ ，
原式 $= (y - 1) (y + 3) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 2 y + 1$ （第二步）
$= {(y + 1)}^{2}$ （第三步）
$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ （第四步）

(1)、请根据材料A ，解答问题：若 $x - y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、请根据材料B ，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果_▲_；
②因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$ ．

(3)、综合运用：
若实数x满足 ${(2023 - x)}^{2} + {(x - 2024)}^{2} = 50$ ，求 $(2023 - x) (x - 2024)$ 的值．

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3、阅读材料：我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 这样的式子叫做完全平方式 $.$ 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ ．
原式 $= (x^{2} + 2 x + 1 - 1) - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ．
由上式可知： $x^{2} + 2 x - 3$ = ${(x + 1)}^{2} - 4$ ，因为 $不论 x 取何值， (x + 1)^{2}$ ≥0，所以当 $x + 1$ =0，即 $x = - 1$ 时， $x^{2} + 2 x - 3$ 的最小值是-4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．

(1)、利用配方法分解因式： $x^{2} - 6 x - 27$ ；

(2)、根据上面解题思路可知多项式 $x^{2} - 6 x - 27$ 有最小值，即当x= 时，最小值是．

(3)、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是 $△ A B C$ 三边的长且 $2 a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a (b + c) = 0$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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4、阅读材料：若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求 $m$ 、 $n$ 的值．
解： $∵ m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，
$∴ (m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$
$∴ {(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ，而 ${(m - n)}^{2} \geq 0$ ， ${(n - 4)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(m - n)}^{2} = 0$ 且 ${(n - 4)}^{2} = 0$ ，
$∴ n = 4$ ， $m = 4$ ．
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 4 = 0$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c = 0$ ，则此三角形的形状为．

(3)、已知 $△ A B C$ 的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正整数，且 $a^{2} + b^{2} - 2 a - 6 b + 10 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$
解：原式 $= (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = [(x + 1) + 2] [(x + 1) - 2] = (x + 3) (x - 1)$
例如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值．
解： $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 {(x + 1)}^{2} - 8$ ，
因为： $2 {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，所以：当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $m^{2} - 2 m - 3 =$ ．

(2)、当a ， b为何值时，多项式 $a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 9$ 有最小值，并求出这个最小值．

(3)、已知a ， b ， c是 $△ A B C$ 的三条边，且满足 $a^{2} - 4 a + b^{2} - 6 b + c^{2} - 4 c + 17 = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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6、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如： $4 = 2^{2} - 0^{2}$ ， $12 = 4^{2} - 2^{2}$ ， $20 = 6^{2} - 4^{2}$ ，因此4， $12 ， 20$ 这三个数都是神奇数，

(1)、直接判断： $28$ （是或不是）神奇数， $2024$ （是或不是）神奇数；

(2)、设两个连续偶数为 $2 k + 2$ 和 $2 k$ （其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。
①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．
②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数．
③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数．

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7、下列因式分解不正确的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ B、 $x^{2} + 4 x - 5 = (x - 1) (x + 5)$ C、 $4 x^{2} + 4 x + 1 = {(2 x + 1)}^{2}$ D、 $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$

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8、阅读以下材料
材料：因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$
解：将“ $x + y$ ”看成整体，令 $x + y = A$ ，则原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2}$
再将“A”还原，得原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)、因式分解： $1 - 2 (x - y) + {(x - y)}^{2} =$ ；

(2)、因式分解： $(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4$ ；

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9、下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
因式分解： $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ ．
解：设 $x^{2} - 2 x = y$ ，
原式 $= y (y + 2) + 1$
$=$ ____
$= {(y + 1)}^{2}$ （依据）

$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$
$=$ ____．
任务：

(1)、将学习笔记补充完整．

(2)、材料中的依据是指．（填序号）
①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．

(3)、请你模仿上述方法，对多项式 ${(a - b + 1)}^{2} + 2 (a - b) - 1$ 进行因式分解．

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10、分解因式

(1)、 $4 {(a - b)}^{2} - {(a + b)}^{2}$

(2)、 $- 9 m^{2} + {(2 m - 4 n)}^{2}$

(3)、 ${(x^{2} - 2 y)}^{2} - {(1 - 2 y)}^{2}$

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11、在实数范围内分解因式： $81 a^{4} - 16 b^{4}$ ．
丽华的解题过程如下：
解：原式 $= (9 a^{2} + 4 b^{2}) (9 a^{2} - 4 b^{2})$ ．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．

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12、把下列各式分解因式：

(1)、 $- 5 a^{2} b^{3} + 20 a b^{2} - 5 a b$ ；

(2)、 $(x + y) (x - y) - {(x + y)}^{2}$ ；

(3)、 $8 a {(x - y)}^{2} - 4 {(y - x)}^{3}$ ；

(4)、 $x (x^{2} - x y) - (4 x^{2} - 4 x y)$ ．

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13、分解因式：

(1)、 $21 x y - 14 x z + 35 x^{2}$ ；

(2)、 $15 x y + 10 x^{2} - 5 x$ ；

(3)、 $(2 a + b) (3 a - 2 b) - 4 a (2 a + b)$ ；

(4)、 ${(x - 2)}^{2} - x + 2$ ．

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14、因式分解： $4 (a - b) (2 a - 3 b) + (3 b - 2 a) b^{2}$

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15、因式分解：

(1)、 $5 x^{2} y z + 10 x y^{2} z - 5 x y z$ ；

(2)、 $10 a b {(a - b)}^{3} - 5 b {(b - a)}^{2}$ ；

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16、多项式 $2 x^{2} + m n x + n$ 因式分解的结果是 $(2 x - 1) (x + \frac{1}{4})$ ，则 $m =$ ， $n =$ .

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17、若 $81 - x^{k} = (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)$ ，那么k的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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18、观察下列从左到右的变形：① $- 6 a^{3} b^{3} = (2 a^{2} b) (- 3 a b^{2})$ ；② $m a - m b + c = m (a - b) + c$ ；③ $6 x^{2} + 12 x y + 6 y^{2} = 6 {(x + y)}^{2}$ ；④ $(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) = 9 a^{2} - 4 b^{2}$ ．其中是因式分解的是（填序号）．

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19、下列各式从左到右是因式分解的是．
① $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ ；
② $x^{2} + 2 x + 2 = {(x + 1)}^{2} + 1$ ；
③ $x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4)$ ；
④ $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} = (x + 2 y) (x + y)$ ；
⑤ $m^{2} + \frac{1}{m} + 2 = {(m + \frac{1}{m})}^{2}$ ；
⑥ $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ ．

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20、如图，A，E，B，D在同一直线上， $F E ⊥ A D$ ， $C B ⊥ A D$ ， $A E = D B$ ， $A C = D F$ ，求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ．

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