相关试卷

1、七千年前中国长江流域的先民们就曾种植水稻，到目前国内杂交稻的种植面积有2亿亩.2019年10月21日至22日，被袁隆平看作突破亩产“天花板”关键的第三代杂交水稻，在湖南省衡阳市衡南县清竹村以首次公开测产方式全面亮相，其潜能巨大．如图，“第三代一号”水稻的实验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为n米（m＞n）正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二号”水稻的试验田是边长为（m﹣n）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a千克．

(1)、试建立代数式，并比较哪种水稻的单位面积产量高？为什么？（提示：m ， n均为正数）

(2)、高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？

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2、计算：

(1)、 $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ；

(2)、先化简，再求值：
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 3 x} \div (1 - \frac{4}{x + 3})$ ，然后从 $- 3$ ， 0，1，3中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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3、先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$ ，并从 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 这四个数中取一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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4、求下列各式的最简公分母，并通分．

(1)、 $\frac{c}{6 a^{2} b}$ ， $\frac{a}{8 b^{2} c^{2}}$ ， $\frac{b}{3 a c^{2}}$ ；

(2)、 $- \frac{x + 2}{2 x + 2}$ ， $\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ， $\frac{3}{8 - 4 x}$ ．

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5、通分：

(1)、 $\frac{x}{x - y}$ ， $\frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ ， $\frac{2}{x^{2} - y^{2}}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2 x + 2}$ ， $\frac{3}{x^{2} - 1}$ ， $\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ．

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6、化简下列式子：

(1)、 $\frac{m^{2}}{m + 3} - \frac{9}{m + 3}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y} - \frac{2 x y}{x - y}$ ．

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7、计算：

(1)、 $4 a^{2} b \div {(\begin{matrix} - \frac{a}{2 b} \end{matrix})}^{2} \cdot (\begin{matrix} - \frac{b}{8 a} \end{matrix})$ ；

(2)、 ${(\begin{matrix} \frac{a^{2} b}{- c} \end{matrix})}^{3} \cdot {(\begin{matrix} \frac{c^{2}}{- a b} \end{matrix})}^{2} \div {(\begin{matrix} \frac{b c}{a} \end{matrix})}^{4}$ ；

(3)、 ${(\begin{matrix} \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} \end{matrix})}^{2} \div (x + y) \cdot {(\begin{matrix} \frac{x}{x - y} \end{matrix})}^{3}$ ．

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8、计算：

(1)、 $4 a^{2} b \div {(- \frac{a}{2 b})}^{2} \cdot (- \frac{b}{8 a})$

(2)、 ${(\frac{a^{2} b}{- c})}^{3} \cdot {(\frac{c^{2}}{- a b})}^{2} \div {(\frac{b c}{a})}^{4}$

(3)、 ${(\frac{x^{2} - y^{2}}{x y})}^{2} \div (x + y) {(\frac{x}{x - y})}^{3}$

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9、计算：

(1)、 ${(\frac{2}{a})}^{3} =$ ；

(2)、 ${(\frac{4 y}{3 x})}^{2} =$ ；

(3)、 ${(\frac{3 c^{3}}{- a^{2} b})}^{3} =$ ．

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10、计算：

(1)、 ${(\frac{- 2 a}{- b})}^{2} =$ ．

(2)、 ${(- \frac{2 x^{2} y^{4}}{3 z^{3}})}^{3} =$ ．

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11、下列各式中正确的是（）

A、 ${(\frac{3 x^{2}}{2 y})}^{3} = \frac{3 x^{6}}{2 y^{3}}$ B、 ${(\frac{2 a}{a + b})}^{2} = \frac{4 a^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ C、 ${(\frac{x - y}{x + y})}^{2} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ D、 ${(\frac{m + n}{m - n})}^{3} = \frac{{(m + n)}^{3}}{{(m - n)}^{3}}$

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12、分式计算：

(1)、 $\frac{2 x}{5 x - 3} \div \frac{3}{9 - 25 x^{2}} \cdot \frac{x}{5 x + 3}$ ；

(2)、 ${(\frac{a^{2} b}{- c d^{3}})}^{3} \div \frac{2 a}{d^{3}} \cdot {(\frac{c}{2 a})}^{2}$ ．

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13、计算：
$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{12 - 4 x}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{1}{x + 3}$ ．

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14、阅读理解：
一位同学将代数式 $x^{2} - 2 x + 5$ 变形为 $(x^{2} - 2 x + 1) + 4$ ，得到 ${(x - 1)}^{2} + 4$ 后分析发现 ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ ，那么当 $x = 1$ 时，此代数式有最小值是4．
请同学们思考以下问题：

(1)、已知代数式 $x^{2} + 2 x - 1$ ，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．

(2)、已知代数式 $- x^{2} + 4 x + 9$ ，此代数式有最值（填“大”或“小”），且值为．

(3)、通过阅读材料分析代数式 $2 x^{2} + 6 x - 1$ 的最值情况，写出详细过程及结论．

(4)、已知代数式 $a x^{2} + b x + c$ （其中a、b、c为常数，且 $a \neq 0$ ），探究此代数式的最值情况，若果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由．

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15、阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解： $a m + b m + a n + b n = (a m + b m) + (a n + b n) = m (a + b) + n (a + b) = (a + b) (m + n)$
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解： $a^{2} + 2 a b + b^{2} - 9 = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 9 = {(a + b)}^{2} - 9 = (a + b + 3) (a + b - 3)$
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：

(1)、 $a b - a - b + 1$ ；

(2)、 $a^{2} - 9 b^{2} - 2 a + 6 b$ ；

(3)、 $n^{2} + (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 6)$ ．

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16、［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“ $3 + 1$ ”分组．二是“ $2 + 2$ ”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“ $3 + 1$ ”分组；若无法构成，则采用“ $2 + 2$ ”分组．
例如： $a m + b m + a n + b n = (a m + b m) + (a n + b n) = m (a + b) + n (a + b) = (a + b) (m + n)$ ；
$x^{2} + 2 x + 1 - 4 = (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 2^{2} = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x - 1) (x + 3)$ ．
［应用知识］

(1)、因式分解： $a^{2} - a b + b c - a c$ ．

(2)、因式分解： $- a^{2} - 6 a b - 9 b^{2} + 9$ ．

(3)、［拓展应用］
已知一三角形的三边长分别是 $a ， b ， c$ ，且满足： $2 a^{2} = c (2 a - c) + b (2 a - b)$ ．试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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17、阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式： $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ ．
解：原式 $= x^{3} - 3 x^{2} - x^{2} + x + 6$ 第1步：拆项法，将 $- 4 x^{2}$ 拆成 $- 3 x^{2}$ 和 $- x^{2}$
$= (x^{3} - 3 x^{2}) - (x^{2} - x - 6)$ 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组
$= x^{2} (x - 3) - (x + 2) (x - 3)$ 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)
$= (x - 3) (x^{2} - x - 2)$ 第4步：提公因式法(整体)；
$= (x - 3) (x - 2) (x + 1)$ 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底

(1)、请你试一试分解因式： $x^{3} - 7 x + 6$ ；

(2)、请你试一试在实数范围内分解因式： $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ．

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18、【学习材料】——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$ ．
解：原式＝ $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 - 2) (x + 1 + 2) =（ x - 1) (x + 3 ）$ ．
例2分解因式：x³+5x﹣6．
解：原式＝x³－x+6x－6＝x（x²－1）+6（x－1）＝（x－1）（x²+x+6）．
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+14x－51＝．

(2)、化简： $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x + 2}$ ．

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19、【阅读理解】
对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ ，能直接用公式法进行因式分解，得到 $x^{2} + 2 a x + a^{2} = {(x + a)}^{2}$ ，但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ ，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使其成为完全平方式，再减去 $a^{2}$ 这项，使整个式子的值不变，于是： $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} - a^{2} - 3 a^{2} = (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - 4 a^{2} = {(x + a)}^{2} - {(2 a)}^{2} = (x + a + 2 a) (x + a - 2 a) = (x + 3 a) (x - a)$
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

(1)、【问题解决】请用上述方法将二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$ 分解因式．

(2)、运用材料中的添（拆）项法分解因式： $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ ．

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20、你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！

(1)、提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： $x y^{2} - x^{3} y =$ ；

(2)、十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式 $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ 的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 $x^{2} + 5 x + 6 =$ ▲ ；
②解方程： $x^{2} - 6 x + 12 = x$ ．

(3)、拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 =$ ；
② $x^{3} - 2 x - 1 =$ ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： $a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a - 3 b - 4 =$ ．

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