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1、如图，要在河的一侧测量河对岸 $A$ ， $B$ 两点的距离．选择点 $C$ ，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 在一条直线上，作射线 $C F$ ，则得 $∠ A C F = 50 °$ ，在射线 $C F$ 上选取点 $D$ 和点 $E$ ，使 $∠ B D C = 65 °$ ， $∠ A E C = 65 °$ ．这时测得 $D E$ 的长就是 $A$ ， $B$ 两点的距离，为什么？

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2、为了测量一池塘两端A ， B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表

课题	测量池塘两端A ， B的距离		池塘示意图：
工具	测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	①从A点出发，向北走到C点；②测得 $∠ A C B = 45 °$ ， $C A = 20 m$	①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B ， O ， E三点共线； ④测得 $D E = 20 m$	①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G ，此时 $∠ B F A = ∠ G F A$ ； ④测得：数据1： $A G = 20 m$ ；数据2： $A F = 2 m$ ．
测量示意图

(1)、第一小组测得

A C

即

A B

的距离，证明方法如下：

证明： $∵ A C ⊥ A B$

$∴ ∠ C A B = 90 °$

$∵ ∠ A C B = 45 °$ (转右框)

$∴ ∠ A B C = 90 ° - ∠ A C B = 90 ° - 45 ° = 45 ° ∴ ∠ A C B = ∠ A B C$

$∴ A B = A C = 20 m$ (理由：

(2)、请用第二小组的方案，求出池塘两端A ， B的距离；

(3)、其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A ， B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A ， B的距离．

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3、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是角平分线，过点B作 $B A$ 的垂线与 $A D$ 的延长线相交于点E ，求证： $△ B D E$ 是等腰三角形．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = C B$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一点，点 $E$ 为 $△ A B C$ 外的任意一点，连接 $B D, B E, D E$ ，其中 $B E = B C$ ， $∠ A B D = ∠ E B D$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ E B D$ ；

(2)、若 $∠ C A B = ∠ D B A$ ， $B E = 6$ ， $A C = 10$ ，求 $△ B D C$ 的周长．

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5、 $Rt△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ A B C$ 的高 $C D$ 与角平分线 $B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证 $∠ C A D = ∠ B C D$ ；

(2)、求证： $△ C E F$ 为等腰三角形．

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6、如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 $A$ 点的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ， $B$ 点的坐标是 $(- 3 ， 1)$ ， $C$ 点的坐标是 $(- 2 ， 3)$ ．

(1)、作 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ D E F$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ；则点 $E$ 的坐标为_▲_，点 $F$ 的坐标为_▲_．

(2)、在（1）的条件下，点 $P$ 为 $x$ 轴正半轴上的动点，当 $△ P D E$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $P$ 的横坐标．

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7、如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °, A B = 10 cm$ ， $A C : B C = 3 : 4$ ，动点P从B出发沿射线 $B C$ 以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

(1)、求 $B C$ 边的长．

(2)、当 $△ A B P$ 为等腰三角形时，求t的值．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 8$ cm， $B C = 6$ cm，P ， Q是 $△ A B C$ 边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts．

(1)、① $Rt △ A B C$ 斜边 $A C$ 上的高为cm；
②当 $t = 3$ 时， $P Q$ 的长为cm．

(2)、当点Q在边 $B C$ 上运动时，出发几秒钟后， $△ P Q B$ 是等腰三角形?

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9、如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 10$ ，有一动点P在折线段 $A B － B C$ 上运动，速度为2个单位，运动时间t ．

(1)、当 $t =$ 时， $S_{△ A C P} = S_{△ B C P}$ ；

(2)、若 $C P$ 平分 $∠ A C B$ ，求运动时间t；

(3)、当t为何值时， $△ A C P$ 为轴对称图形．

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10、如图，已知 $∠ A O B = α$ ，在射线 $O A$ 、 $O B$ 上分别取点 $O A_{1} = O B_{1}$ ，连接 $A_{1} B_{1}$ ，在 $B_{1} A_{1}$ 、 $B_{1} B$ 上分别取点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ ，使 $B_{1} B_{2} = B_{1} A_{2}$ ，连接 $A_{2} B_{2} \dots \dots$ ，按此规律下去，记 $∠ A_{2} B_{1} B_{2} = θ_{1}, ∠ A_{3} B_{2} B_{3} = θ_{2}, \dots \dots$ ， $∠ A_{n + 1} B_{n} B_{n + 1} = θ_{n}$ ，则 $θ_{n} =$ ．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D = C D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、求证： $A D ⊥ B C$ ．

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C, ∠ A C B$ 的平分线相交于I ， $D E$ 过点I且 $D E ∥ A C$ ，若 $A D = 3 cm, C E = 5 cm$ ，则 $D E =$ （） $c m$

A、8 B、6 C、7 D、5

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13、如图，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 所在的直线折叠，使点 $B$ 落在 $A C$ 边上的点 $E$ 处， $∠ B = 48 °$ 且 $E C = B D$ ，那 $∠ A D E$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $75 °$ C、 $78 °$ D、 $80 °$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $P M$ 、 $Q N$ 分别是线段 $A B$ 、 $A C$ 的垂直平分线，若 $∠ B A C =110 °$ ，则 $∠ P A Q$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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15、【旋转构造】

(1)、【问题背景】如图1，P是等边 $△ A B C$ 外一点， $∠ A P B = 3 0^{\circ},$ 则 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2} .$
小明为了证明这个结论，将 $△ P A B$ 绕点A逆时针旋转（ $6 0^{\circ},$ 请根据此思路完成这个证明；

(2)、【迁移应用】如图2，P是等边 $△ A B C$ 内一点，且 $P C^{2} + P B^{2} = P A^{2},$ 则 $∠ B P C =$ .

(3)、【拓展提升】如图3，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $B A = B C, ∠ A B C = 9 0^{\circ},$ 点P在 $△ A B C$ 外部，且 $∠ B P C = 4 5^{\circ},$ 若PC=6，求 $△ A P C$ 的面积.

(4)、如图4，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C,$ 点 E在四边形ABCD内部，且 $D E = E C, ∠ D E C = 9 0^{\circ},$ $∠ A E B = 13 5^{\circ}, A D = \sqrt{3}, B C = \sqrt{5},$ 求AB的长.

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16、【费马点】

(1)、【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1).这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：
如图2，把△APC绕A 点逆时针旋转60°得到 $△ A P_{1} C_{1}$ （点P 、C的对应点分别为点P₁、C₁)，连接PP₁.当B、P、P₁、C₁四点在同一直线上时，点P是△ABC的“费马点”.
证明过程如下：
由旋转可知 $△ A P C ≅ △ A P_{1} C_{1},$
则 $P_{1} C_{1} = P C, A P = A P_{1},$
$∵ ∠ P A P_{1} =$     ▲    ，
$∴ △ A P P_{1}$ 为等边三角形，
∴    ▲    ，
$P A + P B + P C = P P_{1} + P B + P_{1} C,$
∴当B、P、P₁、C₁四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值
最小，即点P 是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC=   ▲    .

(2)、【迁移应用】如图3，已知锐角△ABC，分别以AB， AC为边向外作正△ABE和正△ACD，连接CE、BD相交于P点， CE交AB于点M ， BD交AC于点N. 求∠CPD的度数.
（经过一定的证明我们可知：所得点P 也是△ABC的“费马点”)

(3)、【拓展提升】如图4， △ABC中， ∠ABC=60°，点P是△ABC内一点， AB=4， BC=6，求 PA+PB+PC的最小值.

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17、【代数推理】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.

(1)、小明的方法是从小到大逐一列举：
3 $= 2^{2} - 1^{2}, 5 = 3^{2} - 2^{2}, 7 = 4^{2} - 3^{2}, 8 = 3^{2} - 1^{2}, 9 = 5^{2} - 4^{2}, 11 = 6^{2} - 5^{2}, \dots$ …
则小明列举的第8个“智慧数”是.

(2)、小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数” ，并进行了如下证明：
证明：设k是正整数，
$∵ {(k + 1)}^{2} - k^{2} = (k + 1 + k) (k + 1 - k) = 2 k + 1,$
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1 外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数” ，请参考上面的方法进行证明。

(3)、用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：.（k是正整数)

(4)、根据（3）的结论，将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少?

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18、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，点E是AB边上一点， $B E = C E, A D ⟂ B C$ 于点D， AD与EC交于点G.

(1)、求证： $△ A E G$ 是等腰三角形.

(2)、若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长.

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19、“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元.

(1)、求每千克红提和青提进价各是多少元.

(2)、若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，青提的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大?最大利润是多少?

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20、如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.

(1)、将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A₁B₁C₁ ，画出△A₁B₁C₁ ，并直接写出A₁的坐标 ▲ ；

(2)、将△A₁B₁C₁绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂ ，画出△A₂B₂C₂；

(3)、 △A₂B₂C₂是由△ABC绕点（写坐标)顺时针旋转度得到的.

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