相关试卷

1、综合与探究：如图， $∠ A O B = 90 °$ ，点P在 $∠ A O B$ 的平分线上， $P A ⊥ O A$ 于点A ．

(1)、【操作判断】
如图①，过点P作 $P C ⊥ O B$ 于点C ，根据题意在图①中画出 $P C$ ，图中 $∠ A P C$ 的度数为度；

(2)、【问题探究】
如图②，点M在线段 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点P作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点N ，求证： $O M + O N = 2 P A$ ；

(3)、【拓展延伸】
点M在射线 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点P作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点N ，射线 $N M$ 与射线 $P O$ 相交于点F ，若 $O N = 3 O M$ ，求 $\frac{O P}{O F}$ 的值．

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2、[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 进行配方．
解： $x^{2} - 2 x + 3 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = {(x - 1)}^{2} + 2$ ．
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ ， $b$ 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ．再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ ， $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“雅美数”．

(1)、[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是．

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 6 x + 13$ （ $x$ 是整数）是“雅美数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n^{2}$ （ $m$ ， $n$ 为常数），则 $m n$ 的值为；

(3)、[问题探究]已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 8 x - 12 y + k$ （ $x$ ， $y$ 是整数， $k$ 是常数且 $x \neq - 4$ ， $y \neq \frac{3}{2}$ ），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的 $k$ 值．

(4)、[问题拓展]已知实数 $M$ ， $N$ 是“雅美数”，求证： $M \cdot N$ 是“雅美数”．

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3、尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．

(1)、请在图中作出折痕，交 $A B$ 边于点F ，交 $C D$ 边于点G ，连接 $E F$ ，并在矩形纸片内用尺规作出一点M ，使得四边形 $B F E M$ 是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
作图步骤1（作出折痕）：
作图步骤2（作出点M）：
证明：

(2)、在（1）的条件下，若折痕 $F G$ 交 $B E$ 于点H ，连接 $A H$ ，若 $A H$ 长为6， $B F$ 为 $2 \sqrt{11}$ ，直接写出 $F M$ 的长．

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4、某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．

(1)、当定价为13元/千克时，此时可以卖出千克，利润为元．

(2)、若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？

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5、近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷
年  月
在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选)
A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶

(1)、本次抽样调查的样本容量是；

(2)、扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是；

(3)、【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？

(4)、【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A ， B ， C ， D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．

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6、先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} + a} \div (a - \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

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7、解方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 边上（不与 $A$ 、 $B$ 重合）的动点，过点 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则线段 $E F$ 的最小值是．

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9、如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得 $∠ A = 120 °$ ，对角线 $A C = 8 c m$ ，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接 $B E$ ，则图3中 $△ B C E$ 的面积为（　　）

A、 $32 c m^{2}$ B、 $32 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $16 c m^{2}$ D、 $16 \sqrt{3} c m^{2}$

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10、如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 $35$ 米、宽 $20$ 米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 $600$ 平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x - 2 \times 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$

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11、如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A C = 50 c m$ ， $C E = 30 c m$ ， $B D = 45 c m$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $27 c m$ B、 $50 c m$ C、 $72 c m$ D、 $80 c m$

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12、下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、观察下列等式 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
将以上三个等式两边分别相加得： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、猜想并写出： $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

(2)、直接写出下列各式的计算结果：
① $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{1}{2008 \times 2009} =$ ；
② $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{1}{n (n + 1)} =$

(3)、探究并计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + ⋯ + \frac{1}{2008 \times 2010}$ ．

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14、小虎同学做一道题，已知两个多项式 $A$ ， $B$ ，其中 $B = 3 x^{2} - 3 y - 1$ ，在计算 $A - B$ 时，他误将“ $A - B$ ”看成了“ $A + B$ ”，求得的结果是 $5 x^{2} - y$ ．

(1)、求多项式 $A$ ；

(2)、若 $| x - 1 |$ 与 ${(y + 1)}^{2}$ 互为相反数，求 $A - B$ 的值．

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15、黄河口大闸蟹是东营的一大特产，现有20箱大闸蟹，以每箱3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：千克）
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
箱数
1
1
4
5
8
1

(1)、与标准重量比较，20箱大闸蟹总计超过或不足多少千克？

(2)、若大闸蟹的成本为每千克60元，每箱售价200元（按箱出售）．这20箱大闸蟹全部售出，共盈利（或亏损）多少元？

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16、有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

(1)、判断正负，用“ $>$ ”或“ $<$ ”填空： $c - b$ 0， $a + b$ 0， $c - a$ 0．

(2)、化简： $| c - b | + | a + b | - | c - a |$ ．

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17、已知 $a$ 、 $b$ 互为相反数， $c$ 、 $d$ 互为倒数， $m$ 的绝对值为1， $p$ 是数轴上到原点距离为1的数，求 $p^{2024} - c d + \frac{a + b}{a b c d} + m^{2} + 1$ 的值．

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18、如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，

(1)、分别画出从正面、左面、上面观察到的图形．

(2)、如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂个面．

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19、先化简，再求值： $5 (3 a^{2} b - a b^{2}) - 4 (- a b^{2} + 3 a^{2} b)$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = - \frac{1}{3}$

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20、把下列各数填在相应的大括号内：
6， $- 3$ ， 2.4， $- \frac{3}{4}$ ， 0， $\frac{2}{9}, - 1.414, - 17$ ．
正数：{…}；
非负整数：{…}；
整数：{…}；
负分数：{…}．

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与标准质量的差值（单位：千克）	-0.3	-0.2	-0.1	0	0.1	0.2
箱数	1	1	4	5	8	1