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1、如图， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $C E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $C F ⊥ A D$ 于 $F$ ，且 $B C = D C$ ．

(1)、证明： $B E = D F$ ；

(2)、若 $C D ∥ A B$ ， $F D = 3$ ， $A D = 5$ ，求 $△ A F C$ 的面积．

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2、已知：如图， $B$ ， $D$ ， $E$ ， $C$ 在同一直线上， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，求证： $B D = C E$ ．

(1)、根据下面说理步骤填空：
证明：作 $A M ⊥ B C$ ，垂足为点 $M$ ．
$∵ A B = A C$ （已知）， $A M ⊥ B C$ ，
$∴$ $=$ （等腰三角形三线合一），
同理可证： $=$ ，
$∴ B M - D M = C M - E M$ ，即 $B D = C E$ ．

(2)、若 $∠ B = 50 °$ ， $∠ E A C = 15 °$ ，求证： $A B = B E$ ．

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3、如图， $A B = D C$ ， $A C = D B$ ， $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D C B$ ；

(2)、求证： $O B = O C$ ．

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4、作图题：

(1)、如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 $△ A B C$ （即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．（要求： $A$ 与 $A_{1}$ ， $B$ 与 $B_{1}$ ， $C$ 与 $C_{1}$ 相对应）

(2)、如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．

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5、如图，已知 $∠ A O B = 30 °$ ，点 $M$ ， $N$ 在边 $O A$ 上， $O M = x$ ， $M N = 1$ ， $P$ 是射线 $O B$ 上的点，若使点 $P$ ， $M$ ， $N$ 构成等腰三角形的点 $P$ 恰好有1个，则 $x$ 满足的条件是．

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6、如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则 $∠ 1 =$ ．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是边 $A C$ 的中点，连结 $D E$ ，连结 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，此时 $∠ C A D = ∠ C B E$ ，下列结论中：① $B E$ 平分 $∠ A B C$ ；② $A D^{2} + C D^{2} = 4 D E^{2}$ ；③ $∠ C D E = ∠ A B E + ∠ B A D$ ；④若记 $△ A B F$ 的面积为 $S_{△ A B F}$ ， $△ B D E$ 的面积为 $S_{△ B D E}$ ，则 $S_{△ A B F} = S_{△ B D E}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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8、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $M$ ， $N$ 为垂足，若 $B D = 3$ ， $D E = 4$ ， $E C = 5$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、10 B、11 C、 $\sqrt{90}$ D、 $\sqrt{72}$

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9、已知 $△ A B C$ ，下列尺规作图的方法中，能确定 $∠ B A D = ∠ C A D$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是边 $B C$ 上的高，则下列结论不正确的是（）

A、 $B D = C D$ B、 $∠ B A C = ∠ A B C$ C、 $A D$ 平分 $∠ B A C$ D、 $S_{△ A B D} = S_{△ A C D}$

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11、如果 $a < b$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $a - 2 < b - 2$ B、 $- 8 a < - 8 b$ C、 $\frac{a}{6} > \frac{b}{6}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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12、如图， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ， $O A = O D, O B = O C$ ，不添加辅助线，判定 $△ A B O ≌ △ D C O$ 的依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A A S$ D、 $H L$

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13、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 延长线上的一点， $∠ A C D = 100 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $20 °$ D、 $40 °$

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14、

(1)、如图1，若 $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ．点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ．
①求证： $△ A C D ≌ △ B C E$ ．
②求 $∠ A E B$ 的度数以及线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $C D = 3$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A D C = 45 °$ ，求 $B D$ 的长．

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15、

(1)、【问题提出】已知，如图1所示， $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，点 $C$ 在线段 $D E$ 上， $A C = B C$ ，且 $A C ⊥ B C$ ．求证： $△ A D C ≌ △ C E B$ ．

(2)、【问题解决】如图2所示，点 $D$ ， $C$ ， $E$ 在直线 $l$ 上，点 $A$ ， $B$ 在 $l$ 的同侧， $A C ⊥ B C$ ，若 $A D = A C = B C = B E = 5$ ， $C D = 6$ ，求 $△ B C E$ 的面积．

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16、如图，在笔直的公路 $A B$ 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 $A B$ 上的 $D$ 处开凿隧道修通一条公路到 $C$ 处，已知点 $C$ 与公路上的停靠站 $A$ 的距离为 $15 k m$ ，与公路上另一停靠站 $B$ 的距离为 $20 k m$ ，停靠站 $A$ 、 $B$ 之间的距离为 $25 k m$ ，且 $C D ⊥ A B$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

(2)、若公路 $C D$ 修通后，一辆货车从 $C$ 处经过 $D$ 点到 $B$ 处的路程是多少？

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17、如图， $△ A B C$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $A B$ 的中垂线交 $B C$ 于D（保留痕迹）．

(2)、若 $∠ C = 2 ∠ B$ ，连结 $A D$ ，判断 $△ A D C$ 的形状，并说明理由．

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18、如图，一架 $2.5$ 米长的梯子 $A B$ 斜靠在竖直的墙 $A C$ 上，这时B到墙底端C的距离为 $0.7$ 米．

(1)、求梯子的顶端到地面的距离 $A C$ 的长．

(2)、如果梯子的顶端沿墙面下滑 $0.4$ 米，那么B将向外移动多少米？

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19、如图， $A E = B F$ ， $∠ C E B = ∠ D F A = 90 °$ ， $A D = B C$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于O ．

(1)、求证： $D F = C E$ ．

(2)、若 $∠ A O B = x$ ，求 $∠ C$ 的度数（用含x的代数式表示）．

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20、

(1)、请你把图1， $∠ A = 24 °$ ， $∠ B = 48 °$ ．将其分割成两个等腰三角形，画出分割线，并在分割后的图中标注两个等腰三角形顶角的度数．

(2)、在图2中画出一个 $△ A B C$ （点C在小正方形的顶点上），使 $△ A B C$ 为等腰三角形．

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