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1、下列各组数中，与数值 $- 1$ 相等的是（）

A、 $- (- 1)$ B、 ${(- 1)}^{2024}$ C、 $- 1^{2025}$ D、 $|- 1|$

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 °$ ， $A D$ ， $B E$ ，均为 $△ A B C$ 的高， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ．

(1)、求证： $A F = B C$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 67.5 °$ ，求证： $A F = 2 B D$ ．

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3、小文和妈妈去贵州旅游，回来的时候她们买了一些特产，到家后，妈妈和爸爸的对话如图．
设每袋辣椒粉为 $x$ 元．

(1)、请你通过计算分析，爸爸为什么说妈妈记错了？

(2)、妈妈核实账单后，发现刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，每袋刺梨干与辣椒粉的价格的差值算错了，其他都正确．若每袋刺梨干比辣椒粉贵 $m (0 < m < 6)$ 元，求整数 $m$ 的值．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 130 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ，直线 $E F$ ， $M N$ 交于点 $P$ ．

(1)、求 $∠ F A N$ 的度数；

(2)、求证：点 $P$ 在线段 $B C$ 的垂直平分线上．

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5、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (- 4, 1)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (- 2, 3)$ ．

(1)、作 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 与 $△ A B D$ 全等（点 $D$ 不与点 $C$ 重合），请直接写出所有满足条件的点 $D$ 的坐标．

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6、（1）解方程： $\frac{x}{x - 3} - 1 = \frac{1}{x^{2} - 9}$ ；
（2）计算： $\frac{x + 5}{x^{2} + 12 x + 36} \div (1 - \frac{1}{x + 6})$ ．

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7、分解因式：

(1)、 $3 a^{2} - 9 a b + 6 a$ ；

(2)、 $4 x^{2} - 64$ ．

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8、计算：

(1)、 ${(2 x^{4})}^{2} - 6 x^{3} \cdot x^{5}$ ；

(2)、 $(12 x^{2} y - 8 x y^{2}) \div 4 x y$ ．

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9、若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$ ，则 $\frac{b}{a} - \frac{a}{b} - 2$ 的值是．

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10、如图，已知 $△ A B C$ 的周长是 $15$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $B O$ ， $C O$ ，分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 交于点 $D$ ， $O D ⊥ B C$ ，且 $O B = 4$ ， $△ A B C$ 的面积是．

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11、如图是蜡烛的平面镜成像示意图，以桌面所在直线为 $x$ 轴，镜面所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部 $P$ 点的坐标是 $(3, 1.5)$ ，则对应虚像火焰顶部 $Q$ 点的坐标是．

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12、对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，例如： $f (3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ ，则 $f (\frac{1}{2026}) + f (\frac{1}{2025}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (2025) + f (2026)$ 的值为（）

A、2025 B、 $\frac{4051}{2}$ C、2026 D、 $\frac{4053}{2}$

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13、如图， $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $A B = D E$ ， $B C = E F$ ，则判定 $Rt △ A B C ≌ Rt △ D E F$ 的依据是（）

A、 $SAS$ B、 $AAS$ C、 $HL$ D、 $SSS$

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14、如图，已知 $△ A B D ≌ △ A C E$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 32 °$ ，且 $A$ ， $E$ ， $B$ 三点在同一直线上，则 $∠ C E B$ 的度数是（）

A、 $62 °$ B、 $65 °$ C、 $77 °$ D、 $80 °$

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15、如图，人字梯的支架 $A B$ ， $A C$ 的长度都为 $2 m$ （连接处的长度忽略不计），则 $B$ 、 $C$ 两点之间的距离可能是（）

A、 $3 m$ B、 $4.2 m$ C、 $5 m$ D、 $6 m$

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16、长顺贡红大米是贵州特色农产品，以粒大色红、香味浓郁著称．已知一粒米的质量约为0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（）

A、 $2.1 \times 10^{- 5}$ B、 $2.1 \times 10^{- 4}$ C、 $0.21 \times 10^{- 4}$ D、 $21 \times 10^{- 6}$

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17、花江峡谷大桥连接贵州安顺市关岭县和黔西南州贞丰县两岸，因跨越被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷而得名，大桥全长 $2890 m$ ，主桥跨径 $1420 m$ ．如图，索塔的顶端、拉索与桥面围成的图形大致成三角形，其中蕴含的数学道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、三角形的内角和等于 $180 °$ C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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18、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、综合与探究：

【课本回顾】如图1，在 $△ A B C$ 中，中线 $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 交于点 $P$ ，点 $P$ 叫做 $△ A B C$ 的重心．

【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当 $△ A B C$ 的中线 $A D$ ， $B E$ 交于点 $P$ 时，不管 $△ A B C$ 的边长如何变化，线段 $A P$ 与 $P D$ 存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：

	思路一	思路二
第一步	如图3，取 $A D$ 中点 $M$ ，连接 $E M$ ，证明 $△ B D P ∽ △ E M P$	如图4，作 $A N$ 平行 $B C$ 交 $B E$ 延长线于点 $N$ ，先证明 $△ B C E ≌ △ N A E$ ，再证明 $△ B D P ∽ △ N A P$ ；
第二步	利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段 $A P$ 与 $P D$ 之间的数量关系．	利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段 $A P$ 与 $P D$ 之间的数量关系．
第三步

在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；

【问题解决】（2）在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合）．

①如图II，若点 $M$ 是弦 $B C$ 的中点， $A M$ 交 $O C$ 于点 $E$ ，则 $\frac{O E}{O C}$ 的值为_____．

②如图III，在①的条件下，若 $A M ⊥ O C$ ，求 $\frac{O M}{O B}$ 的值．

③如图IV，若 $A B = 10$ ， $B C = 8$ ， $D$ 为弦 $B C$ 上一动点，过 $D$ 作 $D F ⊥ O C$ ，交 $O C$ 于点 $H$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．设， $B D = x$ ， $E O = y$ ，请求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

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20、某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地 $A B C D$ 建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知 $A D = 52 m, A B = 28 m$ ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为 $640 m^{2}$ ．

(1)、求道路的宽是多少米?

(2)、该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益．

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