相关试卷

1、已知函数 $y = m x^{2} + (m - 1) x - 1 (m$ 为常数 $)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，设函数图象与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、求证：无论 $m$ 取何值，函数图象与 $x$ 轴一定有交点.

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2、已知二次函数的图象经过点 $(0, - 3)$ ，且当 $x = - 3$ 时， $y$ 有最大值6.

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、当 $m \leq x \leq 0$ 时，若 $y$ 的最大值与最小值之和为2，求 $m$ 的值.

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3、已知抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ .

(1)、将抛物线的表达式化为顶点式；

(2)、在如图所示的坐标系中利用五点法画出此抛物线；
$x$
…
…
$y$
…
…

(3)、结合图象，当 $0 < x < 3$ 时， $y$ 的取值范围为.

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4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3 与 x$ 轴正半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且过点 $A (- 1,2)$ ，连接 $A B ， A C ， B C$ .
⑴ 点 $B$ 的坐标是；
⑵ 若点 $P$ 是抛物线对称轴上的一点，且 $S_{△ A B C} = 2 S_{△ B C P}$ ，则点 $P$ 的坐标是.

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5、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4 (0 \leq x \leq 8)$ 如图所示，对任意的 $0 \leq a < b \leq 8$ ，称 $W 为 a 到 b 时 y$ 的值的“极差”（即 $a \leq x \leq b$ 时 $y$ 的最大值与最小值的差）， $L 为 a 到 b 时 x$ 的值的“极宽”（即 $b$ 与 $a$ 的差值），则当 $L = 7$ 时， $W$ 的取值范围是．

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6、神舟二十二号载人飞船发射成功后，某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为 $0 s$ ，在小火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离 $h (m)$ 与飞行时间 $t (s)$ 近似满足函数表达式 $h = - t^{2} + 24 t + 1$ .关于小火箭的飞行过程有以下推论：①点火后 $9 s$ 和点火后 $15 s$ 小火箭与地面的距离相同；②点火后 $24 s$ 小火箭落于地面；③小火箭飞行过程中第二次距离地面 $141 m$ 时，飞行时间为 $14 s$ ；④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为 $145 m$ .
其中正确的推论是（填序号）.

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7、如图，点 $A ， B$ 和点 $C ， D$ 分别在 $y = \frac{1}{2} x^{2} 和 y = \frac{1}{2} x^{2} - 4$ 的图象上.若点 $A ， C$ 的横坐标均为 $- 2$ ，点 $B ， D$ 的横坐标均为4，则线段 $A C ， B D$ 与两条抛物线围成的阴影部分的面积是.

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8、下表中列出了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的一些对应值，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的解 $x$ 的范围是.（两相邻整数之间）
$x$
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
…
$y$
…
1
2
1
$- 2$
$- 7$
…

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9、若抛物线 $y = (a + 1) x^{2} - 2 x + 3 与 x$ 轴有交点，则整数 $a$ 的最大值是.

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10、如果三点 $P_{1} (1, y_{1}) ， P_{2} (3, y_{2}) 和 P_{3} (4, y_{3})$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 6 x + c$ 上，那么 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 之间的大小关系是.（用“ $>$ ”连接）

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11、四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 互相垂直，且 $A C + B D = 8$ ，则四边形 $A B C D$ 面积的最大值为 .

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12、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 1$ ，且该抛物线与 $x$ 轴交于点 $A (1,0)$ ，与 $y$ 轴的交点 $B 在 (0, - 2), (0, - 3)$ 之间（不含端点），则下列结论： $① a b c > 0; ② 9 a - 3 b + c > 0; ③ \frac{2}{3} < a < 1$ ；④若方程 $a x^{2} + b x + c = x + 1$ 的两根为 $m, n (m < n)$ ，则 $- 3 < m < 1 < n$ .正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 4 ， E 是 B C$ 边上的一个动点， $A E ⊥ E F ， E F 交 C D$ 于点 $F$ ，设 $B E = x ， C F = y$ ，图②是点 $E$ 从点 $B$ 运动到点 $C$ 的过程中， $y$ 关于 $x$ 的函数图象，则 $A B$ 的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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14、安化黑茶历史悠久，是益阳最具代表性的茶叶之一.在某茶文化节上，为了展示安化黑茶的独特魅力，组织者设计了一个特别的展示活动.某茶杯过杯体最低点 $B$ 的竖直截面示意图如图所示，其中杯体竖直截面 $A B C$ 呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点 $A ， C$ 位于杯口处，且 $A C = 10 c m$ ，点 $B$ 是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点 $B$ 到 $A C$ 的距离）为 $4 c m$ ，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度（点 $B$ 到 $E F$ 的距离）恰好为 $2 c m$ ，则此时 $E F$ 的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} c m$ B、 $2 \sqrt{5} c m$ C、 $\sqrt{5} c m$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2} c m$

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15、新定义： $[a, b, c]$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0, a, b, c$ 为实数 $)$ 的“图象数”，如： $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的“图象数”为 $[1, - 2,3]$ .若点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 在“图象数”为 $[m, - 2 m, - 3 m]$ 的二次函数的图象上，且 $m > 0, y_{1} = - 3 m$ ，则当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x_{2}$ 的取值范围为（）

A、 $0 < x_{2} < 2$ B、 $x_{2} > 0$ C、 $- 2 < x_{2} < 0$ D、 $x_{2} < - 2$

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16、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标 $x$ 、纵坐标 $y$ 的对应值如下表：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
5
0
$- 3$
$- 4$
$- 3$
…
从表中信息可知，下列说法中正确的是（）

A、抛物线的对称轴是 $y$ 轴 B、抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(3,0)$ C、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的最小值为5 D、当 $x > 2$ 时， $y 随 x$ 的增大而减小

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17、如图，已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a (x - k)^{2} - 1 = 0$ 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②内，区域均含端点，则 $k$ 的值可能是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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18、将抛物线 $y = 2 x^{2} + 4 x + 3$ 向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（）

A、 $(- 4,3)$ B、 $(2,3)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(- 4, - 1)$

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19、若 $y = (a + 3) x^{| a | - 1} - x + 1$ 是关于 $x$ 的二次函数，则 $a$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、 $- 3$ 或3

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20、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ （a、b为常数， $a \neq 0$ ）与x轴交于 $A (- 2, 0)$ 、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接 $B C$ ， $∠ C B A = 45 °$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作 $F E ⊥ x$ 轴，垂足为点E，交 $B C$ 于点D，连接 $C F$ ，求 $△ C D F$ 的面积；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，点E是线段 $O B$ 上（不与点O、B重合）的点，过点E作 $E F ⊥ x$ 轴，交抛物线于点F，交 $B C$ 于点D，点P是线段 $D E$ 上一动点，过P作 $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为Q，点G为线段 $A C$ 的中点，连接 $B P 、 G Q$ ．当线段 $D F$ 的长度取得最大值时，求 $B P + P Q + G Q$ 的最小值．

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$x$	…						…
$y$	…						…

$x$	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	…
$y$	…	1	2	1	$- 2$	$- 7$	…

$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	5	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	…