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1、下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{0.7}$ D、 $\sqrt{18}$

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2、2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在 $0.00035$ 秒左右，将 $0.00035$ 用科学记数法表示为（）

A、 $3.5 \times 10^{- 6}$ B、 $0.35 \times 10^{- 4}$ C、 $3.5 \times 10^{- 4}$ D、 $35 \times 10^{- 5}$

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3、如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和点 $C (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0, 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、如图①，设二次函数图象的顶点为 $P$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求四边形 $A O B P$ 的面积（请在图①中探索）；

(3)、二次函数图象的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A M B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）；

(4)、点 $E$ 为抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上的一个动点，且横坐标为 $n$ ，点 $F$ 的横坐标为 $- 2 n + 1$ ，且线段 $E F ∥ x$ 轴，当线段 $E F$ 与抛物线有两个公共点时，请直接写出 $n$ 的取值范围．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C = 5$ cm， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $A D = 4$ cm，动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿折线 $B A - A C$ 向点 $C$ 运动（点 $P$ 不与 $△ A B C$ 的顶点重合），点 $P$ 在 $B A$ 上的速度是每秒 $5 cm$ ，点 $P$ 在 $A C$ 上的速度是每秒 $\sqrt{5}$ cm，过点 $P$ 作 $B C$ 的垂线交 $B C$ 于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为腰作等腰直角三角形 $P Q R$ ， $∠ Q P R = 90 °$ ，且点 $R$ 、线段 $A D$ 在 $P Q$ 的同侧，设点 $P$ 运动的时间为 $t$ （秒）．

(1)、 $A C =$ _____ $cm$ ；

(2)、求 $P Q$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

(3)、在运动过程中，当 $△ P Q R$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的图形是四边形时，求 $t$ 的取值范围；

(4)、连结 $A R$ ，当 $A R$ 与 $△ A B C$ 的边 $A B$ 或 $B C$ 垂直时，直接写出 $t$ 的值．

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5、综合与探究
【问题情境】
如图①，在 $⊙ O$ 中，弦 $A D$ 平分圆周角 $∠ B A C$ ，我们将圆中以 $A$ 为公共点的三条弦 $A B, A C, A D$ 构成的图形称为“爪形 $A$ ”，弦 $A B, A C, A D$ 称为“爪形 $A$ ”的爪．

(1)、【猜想证明】如图②，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O, A B = B C$ ，连接 $B D$ ．
①试判断圆中是否存在“爪形 $D$ ”，并说明理由；
②若 $∠ A D C = 120 °$ ，延长 $D C$ 至点 $E$ ，使 $C E = A D$ ，连结 $B E$ ．试猜想 $A D, C D, B D$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、【深入探究】如图③，若 $A D ⊥ D C$ ，直接写出“爪形 $D$ ”的爪 $A D, B D, C D$ 之间的数量关系．

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6、一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为 $x (h)$ ，货车的路程为 $y_{1} (km)$ ，小轿车的路程为 $y_{2} (km)$ ，图中的线段 $O A$ 与折线 $O B C D$ 分别表示 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与x之间的函数关系．

(1)、甲、乙两地相距________km， $m =$ ________；

(2)、求线段 $C D$ 所在直线的函数表达式；

(3)、小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？

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7、泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用 $x$ 表示，共分成四组： $A .80 \leq x < 85$ ， $B . 85 \leq x < 90$ ， $C .90 \leq x < 95$ ， $D . 95 \leq x \leq 100$ ），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
“星星人”和“拉布布”得分统计表
$I P$
平均数
中位数
众数
星星人
92
93
a
拉布布
92
b
97
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ __________， $b =$ __________， $c =$ __________；

(2)、根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有 $75 %$ 的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？

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8、图①、图②、图③均是 $8 \times 8$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点和点 $E$ 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．

(1)、如图①，在 $A B$ 边上画点 $D$ ，使 $∠ B C D = 45 °$ ；

(2)、如图②，以 $C E$ 为直角边画等腰直角 $△ E C F$ ，使 $∠ E C F = 90 °$ ；

(3)、如图③，在 $A C$ 边上画点 $G$ ，使 $∠ B G C = 45 °$ ．

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9、 $2025$ 年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共 $15$ 艘．每艘“天问”需 $1$ 名航天工程师保障，每艘“神舟”需 $2$ 名工程师协同．现调配 $20$ 名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？

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10、已知：如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E, F$ 分别是边 $B C$ 和 $A D$ 上的点，且 $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证：四边形 $A F C E$ 是平行四边形．

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11、现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始．

(1)、欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______；

(2)、欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率．

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12、先化简，再求值： $\frac{x - 4}{x + 3}$ ÷（x﹣3﹣ $\frac{7}{x + 3}$ ），其中x＝﹣1

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13、如图，有一张矩形纸片 $A B C D, A B = 2, B C = 4$ ，点 $M, N$ 分别在矩形的边 $A D, B C$ 上，将矩形纸片沿直线 $M N$ 折叠，使点 $C$ 落在矩形的边 $A D$ 上，记为点 $P$ ，点 $D$ 落在点 $G$ 处，连接 $P C$ ，交 $M N$ 于点 $Q$ ，连接 $C M$ ．下列结论：① $C Q = A B$ ；②四边形 $C M P N$ 是菱形；③当点 $P, A$ 重合时， $M N = \sqrt{5}$ ；④ $△ P N Q$ 的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是．

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14、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在 $⊙ O$ 上， $⊙ O$ 的半径为 $2 cm$ ， $∠ C = 130 °$ ，则 $\overset{⏜}{B D}$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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15、现有两块甘蔗地，分别种了甲、乙两种不同品种的甘蔗，一块面积为3亩，平均每亩产甘蔗 $a$ 吨；另一块面积为 $4.5$ 亩，平均每亩产甘蔗 $b$ 吨，用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示两块甘蔗地的甘蔗总产量为吨．

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16、不等式 $2 x - 3 < 11$ 的解集是．

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17、多项式 $2 a^{2} b + 3 a b - 1$ 的次数是次．

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18、如图，一张锐角三角形纸片 $A B C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $A D = 3 D B$ ，沿 $D E$ 将 $△ A B C$ 剪开，则 $S_{△ A D E} : S_{△ A B C}$ 的值为（）

A、 $3 : 4$ B、 $9 : 16$ C、 $1 : 4$ D、 $1 : 2$

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19、如图，在平面直角坐标系中，已知直线 $l : y = k x + 6 (k > 0)$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $O A = 3$ ，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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20、若 $x = - 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - b x - 2026 = 0$ 的根，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $- 2026$ B、 $- 2025$ C、2026 D、2025

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$I P$	平均数	中位数	众数
星星人	92	93	a
拉布布	92	b	97