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1、中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得 $B D = 16 cm$ ， $A C = 12 cm$ ，则该菱形的面积为（）

A、 $192 {cm}^{2}$ B、 $96 {cm}^{2}$ C、 $64 {cm}^{2}$ D、 $48 {cm}^{2}$

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2、把一副普通扑克牌中的5张红桃牌2，3，4，5，6洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽到牌面数字是3的倍数的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3、下列计算正确的是（）

A、 $3 a \div a = 3$ B、 $2 a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ C、 $3 a - a = 2$ D、 ${(2 a)}^{2} = 2 a^{2}$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，外角 $∠ A C D = 103 °, ∠ B = 58 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $43 °$ B、 $45 °$ C、 $53 °$ D、 $57 °$

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5、中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（）

A、 $42.5 \times 10^{4}$ B、 $0.425 \times 10^{6}$ C、 $4.25 \times 10^{5}$ D、 $4.25 \times 10^{6}$

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6、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、下列各数中，是有理数的是（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt[3]{9}$ D、 $\frac{1}{7}$

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8、如图 $1$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ ， $E$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ ， $B$ 的两点， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $O C$ ， $B D$ ， $B E$ ， $C A$ ，延长 $B E$ 与 $C A$ 的延长线交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $G F ⊥ B F$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ， $∠ G F A = ∠ A B E$ ．

(1)、求证：直线 $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、求证： $O C ∥ B D$ ．

(3)、如图 $2$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $B C$ 交 $H D$ 于点 $M$ ．探究 $\frac{D M}{D H}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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9、如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 $C (0, 16)$ ，且过点 $D (- 6, c)$ ．

(1)、求抛物线表达式；

(2)、如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作 $P F ∥ y$ 轴，交直线 $A C$ 于点E，交x轴于点F，连接 $P C, B E, B C$ ，若 $\frac{S_{△ P E C}}{S_{△ B E C}} = \frac{4}{5}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接 $A P$ ，求 $\sqrt{2} A P + P M$ 的最小值．

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10、某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余实践进行测量活动．

问题解决：请你根据测量数据计算钢缆 $A B$ 和 $B C$ 的总长度（结果精确到 $1 m$ ）．

活动主题		测算观光缆车的钢缆长度
测量工具		无人机、测角仪、皮尺、计算器等
活动过程	模型抽象	如图， $A, B, C$ 表示某景区一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置， $A B, B C$ 表示连接缆车站的钢缆．
	测绘过程与数据信息	①用无人机在 $A, B, C$ 三处测得海拔 $A A_{1} = 114 m$ ， $B B_{1} = 354 m, C C_{1} = 1154 m$ ； ②在 $A$ 处使用测角仪测得缆车站点 $B$ 的仰角 $∠ B A A_{2} = 37 °$ ； ③在 $B$ 处使用测角仪测得缆车站点 $C$ 的仰角 $∠ C B B_{2} = 45 °$ ；（参考数据： $sin 37 ° \approx 0.60, cos 37 ° \approx 0.80, tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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11、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $E$ 是 $A C$ 边的中点，点 $D$ 是 $A B$ 边上一点， $C F ∥ A B$ ，连接 $C D$ ， $D E$ ，延长 $D E$ 与 $C F$ 交于点 $F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B =60 °$ ， $B C = 2$ ，点 $D$ 是 $A B$ 中点，求四边形 $A D C F$ 的面积．

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12、近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．

(1)、求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．

(2)、该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的 $\frac{2}{3}$ ．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？

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13、近年来，互联网的迅速发展催生了“网红”．这些在社交媒体上拥有大量粉丝的人物，凭借其独特的魅力、才华或话题性，成为大众关注的焦点．某学校为了解学生对网红类型（A：娱乐类；B：才艺类；C：生活类；D：科普类；E：其他）的关注度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题．

(1)、本次调查的人数为_______人；

(2)、将图①中的条形统计图补充完整；

(3)、图②中“C：生活类”网红对应的圆心角为_______°；

(4)、根据调查结果，请你为网红类型的关注度提出一条合理建议．

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14、先化简，再求值： $(\frac{a}{2 a - 2} - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1}{a}$ ，其中 $a = 3$ ．

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15、计算： $- 1^{2025} + |1 - \sqrt{2}| - 2 sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 16 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，将 $△ A E D$ 沿着 $E D$ 翻折，得到 $△ F D E$ ， $F D$ 与 $A C$ 相交于点 $O$ ，连接 $F B$ ．当 $△ F B D$ 为等腰直角三角形时， $∠ F E C$ 的度数为．

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中，E，F是对角线 $A C$ 上两点，连接 $D E$ ， $B F$ ，添加下列条件之一：① $A E = C F$ ；② $D E = B F$ ；③ $D E ∥ B F$ ；④ $∠ A D E = ∠ C B F$ ；仍然不能判定 $△ A D E ≌ △ C B F$ 的是．（填写序号）

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18、直线 $y = 3 x - 4$ 向上平移3个单位后的函数表达式为．

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19、从11，6，7中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是．

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20、二次根式 $\sqrt{2 x - 8}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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