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1、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对 ${(a + b)}^{n}$ 展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 展开式中的系数，

(1)、根据表中规律，写出 ${(a + b)}^{5}$ 的展开式；

(2)、多项式 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

(3)、请你猜想多项式 ${(a + b)}^{n}$ （n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；

(4)、利用表中规律计算： $2^{5} - 5 \times 2^{4} + 10 \times 2^{3} - 10 \times 2^{2} + 5 \times 2 - 1$ （不用表中规律计算不给分）．

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2、将8张相同的小长方形纸片(如图1)，按图2的方法不重叠地放在长为m的大长方形内，未被覆盖的部分恰好为两个长方形①和②(阴影部分)，它们的周长分别记为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ．已知小长方形纸片的长为 $a$ ，宽为 $b$ ．

(1)、当 $m = 10$ 时，用含 $a$ ， $b$ 的式子分别表示 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ；

(2)、若 $C_{1} - C_{2} = 0$ ，求 $a$ 与 $b$ 之间满足的数量关系．

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3、先化简再求值： $3 (x^{2} y - 2 x y) - 2 (x^{2} y - 3 x y) - 5 x^{2} y$ ，其中 $x = - 1$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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4、计算

(1)、 $- 1^{4} - |- 7| + 3 - 2 \times (- 1 \frac{1}{2})$

(2)、 $- 2^{2} \div \frac{4}{3} - [2^{2} - (1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3})] \times 12$

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5、将如图的8个小长方形纸片按右图所示的方式不重叠的放在长方形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分恰好分割成两个长方形，面积分别为 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ ，若小长形的长为b，宽为a，（ $a < b$ ），当 $A B$ 不变而 $B C$ 变长时，这8张长方形纸片还是按原来的方式放在新的长方形中， $S_{1} - S_{2}$ 的值恒为定值，则 $b =$ $a$ ．

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6、已知代数式 $x^{2} - 2 x + 1$ 的值为2，则代数式 $2023 x^{2} - 4046 x + 1$ 的值为．

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7、下列去括号正确的是（）

A、 $a - (2 b + c) = a - 2 b + c$ B、 $a - 2 (b - c) = a - 2 b + c$ C、 $- 3 (a + b) = - 3 a + 3 b$ D、 $- 3 (a - b) = - 3 a + 3 b$

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于 $P$ ， $Q$ 两点给出如下定义：若点 $P$ 到 $x$ 、 $y$ 轴的距离中的最大值等于点 $Q$ 到 $x$ 、 $y$ 轴的距离中的最大值，则称 $P$ ， Q两点为“等距点”．如图中的 $P$ ， Q两点即为“等距点”．

(1)、已知点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 2)$ ，在点 $E (4, 3)$ ， $F (2, - 5)$ ， $G (4, - 4)$ 中，为点 $A$ 的“等距点”的是______；

(2)、若 $T_{1} (- 2, - k - 4)$ ， $T_{2} (4, 4 k - 2)$ 两点为“等距点”，求 $k$ 的值．

(3)、在（2）的条件下，在备用图中画出这些“等距点”，并求出所围成的凸多边形的面积．

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9、如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 4$ ，点D，E分别在边 $B C$ ， $A C$ 上，连接 $A D ， D E$ ．将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 翻折，翻折后，点B，C分别落在点 $B^{'}, C^{'}$ 处，且边 $D B^{'}$ 与 $D C^{'}$ 在同一直线上，连接 $A C^{'}$ ，当 $△ A D C^{'}$ 是以 $A D$ 为腰的等腰三角形时，则 $B D =$ ．

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10、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 分别通过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ $．$ 若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $4$ ， $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 的距离为 $6$ ，则 $Rt △ A B C$ 的面积为．

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11、如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 内任意一点，且 $∠ A O B = 40 °$ ，点 $M$ 和点 $N$ 分别是射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上的动点，当 $△ P M N$ 周长取最小值时，则 $∠ M P N$ 的度数为（　　）

A、 $140 °$ B、 $100 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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12、在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l₁、l₂相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（　　）°．

A、90﹣x B、x C、90﹣ $\frac{1}{2}$ x D、60﹣ $\frac{1}{2}$ x

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13、已知：如图，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上一点， $A B = 12$ ， $B E = 5$ ， $△ A B E$ 逆时针旋转后能够与 $△ A D F$ 重合．

(1)、旋转中心是______，旋转角为______度；

(2)、请你判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由．

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14、新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．

(1)、如图1， $∠ D$ 是 $△ A B C$ 中 $∠ A$ 的好望角， $∠ A = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ D ．$

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的平分线与经过 $B ， C$ 两点的圆交于点 $D ， E$ ，且 $∠ A C E + ∠ B D E = 180 °$ ．求证： $∠ A D B$ 是 $△ A B C$ 中 $∠ A C B$ 的好望角．

(3)、如图3，在（2）的条件下，若 $∠ B A C = 90 ° ， B C = 6$ ，求：线段 $A E$ 的最大值．

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15、二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + m$ 满足以下条件：当 $- 3 < x < - 2$ 时，它的图象位于x轴的上方；当 $7 < x < 8$ 时，它的图象位于x轴的下方，那么 $- x^{2} + 4 x + m > 0$ 的解集是．

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16、将抛物线y＝3x²先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．

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17、已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $∠ A = 2 ∠ C$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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18、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点E， $∠ A C D = 60 ° ， ∠ A D C = 45 °$ ，则 $∠ D E B$ 的度数是（）

A、 $75 °$ B、 $105 °$ C、 $85 °$ D、 $110 °$

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19、抛物线 $y = 2 {(x + 3)}^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3, 5)$ B、 $(- 3, 5)$ C、 $(3, - 5)$ D、 $(- 3, - 5)$

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20、如图，已知数轴上点A表示的数为a，B所表示的数为b，且满足 $∣ a + 12 ∣ + {(b - 8)}^{2} = 0$ 点C所表示的数为18

(1)、a的值为， b的值为；

(2)、动点P从A点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点Q从点B往数轴右边以为每秒2个单位的速度运动.
①点P运动到C点需要秒，点Q运动到C点需要秒.
②在运动过程中点P所表示的数为x，且PB+PC的值为12，求x的值.
③若点P到达C点后，立即以同样的速度返回，点Q到达点C后，两点同时停止运动，设运动时间为t（t>0）秒，当P，Q之间的距离为2时，求t的值.

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