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1、如图，在足够大的空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $M N$ ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $A B C D$ ．其中 $A D \leq M N$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 $100$ 米木栏．若设 $A D$ 的长度为 $x$ 米，矩形菜园 $A B C D$ 面积为 $S$ 平方米．下列说法错误的是（）

A、 $S$ 与 $x$ 的关系式为 $S = \frac{1}{2} x (100 - x)$ B、当 $a = 20 ， S = 450$ 时， $x = 10$ C、当 $a = 60 ， x = 50$ 时， $S = 1250$ D、当 $a = 40$ 时， $S$ 的最大值为 $1250$

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2、在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + a$ 的图象和二次函数 $y = - a x^{2} + 3 x + 2$ 的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（）

A、①③④ B、①③⑤ C、②③⑤ D、③④⑤

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}, ∠ A B C = 30^{°}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α$ 角 $(0^{°} < a < 180^{°})$ 至 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C$ ，使得点 $A^{^{'}}$ 恰好落在 $A B$ 边上，则 $α$ 等于（）

A、 $150^{°}$ B、 $90^{°}$ C、 $30^{°}$ D、 $60^{°}$

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5、抛物线 $y = x^{2} - 4 x + c$ 的图象经过点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (4, y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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6、用配方法解 $x^{2} - 8 x + 1 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = - 1$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 15$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 1$ D、 ${(x + 4)}^{2} = - 15$

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7、若一元二次方程 $2 x - 7 = 3 x^{2}$ 化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 7$ D、7

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8、下列方程中，关于 $x$ 的一元二次方程是（）

A、 $x^{2} - 2 y + 4 = 0$ B、 $3 x^{2} + x = 20$ C、 $a x^{2} + b x + c = 0$ D、 $x^{2} + 2 x = x^{2} - 1$

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9、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ B A C$ 的角平分线与 $C D$ 交于点 $E$ ， $F$ 为射线 $A B$ 上的一个动点，连接 $E F$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ E F$ ，且 $F G = E G$ ．

(1)、已知 $∠ B A C = 70 °$ ，求 $∠ A E F$ 的度数．

(2)、若 $∠ A E F = α$ ，求 $∠ E C G$ 的度数．

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11、已知： $O P$ 平分 $∠ M O N$ ，点A ， B分别在边 $O M$ ， $O N$ 上，且 $∠ O A P + ∠ O B P = 180 °$ ．

(1)、如图1，当 $B P ∥ O M$ 时，求证： $O B = P B$ ；

(2)、如图2，当 $∠ O A P < 90 °$ 时，作 $P C ⊥ O M$ 于点C ．
求证：① $P A = P B$ ；② $O A - O B = 2 A C$ ．

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12、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线 $P Q$ 交 $A B$ 于点D ，交 $A C$ 于点E ．

(1)、求证： $△ A B E$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A D = 8 ， △ C B E$ 的周长为26，求 $△ A B C$ 的周长．

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13、如图，点D ， E ， F分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B, B C, A C$ 上， $∠ D F E = 60 °$ ， $A D = C F$ ．求证： $△ D E F$ 是等边三角形．

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14、已知：如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A D$ 是底边上的中线， $D E$ 和 $D F$ 分别垂直于 $A B$ 、 $A C$ ，垂足分别为点E、F ．求证： $A E = A F$ ．

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15、在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．请回答下面的问题：

(1)、在网格图中画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小．（保留作图痕迹）

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16、等边 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，且 $A D = \sqrt{3}$ ，点E是 $A C$ 边的中点，若点P是线段 $A D$ 上的动点，则 $P E + P C$ 的最小值是．

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17、“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图，平面直角坐标系中， $A (6, 0)$ ， $B (0, m)$ ，连接 $A B$ ，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，若 $A C = A B$ ， $M (- 1, 0)$ ，连接 $C M$ ，当 $B$ 点在 $y$ 轴负半轴上移动时， $C M$ 的最小值为

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18、如图， $△ A B C$ 中，边 $A B 、 A C$ 的垂直平分线分别交边 $B C$ 于点D、E ，若 $∠ B A C + ∠ D A E = 150 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是．

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19、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D在线段 $A C$ 上，且 $∠ A = 30 °$ ， $∠ B D C = 60 °$ ， $C D = 2$ ，则 $A D =$ ．

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20、如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 是原点，已知点 $A (1, 1)$ ， $B (2, - 2)$ ， $C (- 1, 1)$ ，如果 $△ C O D$ 与 $△ A O B$ 关于 $y$ 轴对称，则点 $D$ 的坐标为．

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