相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C < B C$ 。

(1)、实践与操作：点 $O$ 在线段BC上，以 $O$ 为圆心作 $⊙ O, ⊙ O$ 恰好过 $A$ ， $C$ 两点，并与线段BC交于另一点 $D$ 。小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示。请你用尺规作图：作出点 $O$ 与点 $D$ ，并补全 $⊙ O$ 。

(2)、推理与计算：
在（1）的条件下，若 $2 ∠ C + ∠ B = 9 0^{°}$ 。
①求证：直线AB是 $⊙ O$ 的切线；
②若 $A B = 2 \sqrt{2}, B C = 6 \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径。

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2、春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生。在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码
种类与数量
销售总价（元）
1
一辆电动风力小车、两个简易电动风扇
18
2
两辆电动风力小车、三个简易电动风扇
31

(1)、求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？

(2)、若该摊位希望总捐款金额不低于2000元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共300件，那么电动风力小车至少需要多少辆？

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3、智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔进行用户评价调研。现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔： $6 7 7 8 8 8 9 9 10 10$
B词典笔： $6 8 7 6 8 9 10 10 9 10$
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写。
翻译准确率得分
识别速度得分
平均数
中位数
众数
平均数
中位数
方差
A
8.2
8
①        ▲
8.4
8.5
0.84
B
8.3
8.5
10
8.4
②        ▲
1.44

(2)、样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是        ▲        人。

(3)、决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由。

(4)、调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法。

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4、下面是小甜化简分式

\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}

的过程，请认真阅读，并完成相应的任务。

化简 $\frac{1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}$

解：原式 $= \frac{1 + x}{x + 1} \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1}$ …………………………………………①

$= 1 \times \frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)} .$ …………………………………………②

$= \frac{x + 1}{x}$ …………………………………………③

(1)、化简过程中，从第 ▲ （填序号）步开始出现错误。错误的原因是 ▲ 。

(2)、请写出正确的化简过程，并求出当

x = - 2

时，该代数式的值。

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5、计算： $(2025 - π)^{0} + \sqrt{12} - 4 c o s 3 0^{°} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ 。

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6、已知反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （ $m$ 为常数且 $m \neq 0$ ），当 $- 3 ⩽ x ⩽ - 1$ 时， $y$ 的最大值是-2，则当 $2 ⩽ x ⩽ 4$ 时， $y$ 的最小值为。

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7、如图，一束激光PA射入水面，在点 $A$ 处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑 $B$ 点。水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点 $C$ 处发生折射，光斑移动到 $D$ 点。因水面始终与杯底平行，则折射光线 $C D / / A B$ 。若 $∠ 1 = 4 8^{°}$ ， $∠ 2 = 2 6^{°}$ ，则 $∠ 3$ 的度数为。

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8、办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是。

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9、若 $2 x - y = 3$ ，则代数式 $4 x - 2 y - 1$ 的值等于。

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10、一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”AC与地面DO的夹角为 $4 5^{°}$ （如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为BD。当无人机处于离地面 $100 \sqrt{3}$ 米时，若 $∠ B A C = ∠ D A C = 1 5^{°}$ ，则此时宽度BD的值为（）

A、150 B、 $100 \sqrt{3}$ C、200 D、 $\frac{100}{3} \sqrt{3} + 50$

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11、如图，在矩形ABCD中，边AB绕点 $B$ 顺时针旋转到EB的位置，点 $A$ 的对应点 $E$ 落在CD边的中点，若 $C E = 2$ ，则点 $A$ 旋转到点 $E$ 的路径长为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

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12、如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图。以大本营内的中心点 $O$ 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（）

A、 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 越来越大 B、影子不是直角三角形 C、影子越来越小 D、影子越来越大

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14、下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 ${(x^{3})}^{4} = x^{12}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2$

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15、深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑。数据420000用科学记数法可表示为（）

A、 $420 \times 1 0^{3}$ B、 $42 \times 1 0^{4}$ C、 $4.2 \times 1 0^{5}$ D、 $0.42 \times 1 0^{6}$

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16、下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（）

A、四合云纹 B、葫芦纹 C、如意纹 D、莲花纹

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17、如图，数轴上的下列四点中，最可能表示 $- \frac{1}{2}$ 的点是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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18、若函数“ $Y$ ”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“ $X$ ”图象上，则称函数“ $Y$ ”是函数“ $X$ ”的“遥感函数”，这个点称为函数“ $Y$ ”关于函数“ $X$ ”的“遥感点”．

(1)、点 $(2, p)$ 是函数“ $Y$ ”： $y = x + 1$ 关于函数“ $X$ ”： $y = - x + b$ 的“遥感点”，求函数“ $X$ ”的解析式．

(2)、函数“ $Y$ ”： $y = k x + b$ 是函数“ $X_{1}$ ”： $y = x + m$ 的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“ $Y$ ”： $y = k x + b$ 关于函数“ $X_{2}$ ”： $y = \frac{b}{x}$ 有两个不同的“遥感点”，设它们为 $A$ ， $B$ ．当 $△ A O B$ 为等边三角形时，求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、函数“ $Y$ ”： $y_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + t x - 2$ （其中 $t$ 为常数，且 $t > 2$ ）的顶点 $P$ 恰为函数“ $Y$ ”关于函数“ $X$ ”： $y = x - 3 b$ 的“遥感点”．设抛物线 $y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 与函数“ $Y$ ”： $y_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + t x - 2$ 的交点为 $C$ ， $D$ ，抛物线 $y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 顶点为 $Q$ ．当四边形 $P C Q D$ 为矩形时，求函数“ $X$ ”的解析式．

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19、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，点 $M (m, 0)$ 为线段 $O B$ 上一动点，以点 $M$ 为圆心， $O M$ 为半径作圆，与 $x$ 轴另一交点为 $F$ ．过点 $C$ 作 $⊙ M$ 的切线与 $x$ 轴相交于点 $D$ ，切点为 $E$ ，连接 $E F$ ．

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的解析式；

(2)、如图1，若 $D$ ， $B$ 点重合时，求 $tan ∠ F E D$ 的值；

(3)、如图2，若 $\frac{D F}{E F} = \frac{\sqrt{10}}{8}$ ，点 $Q$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的点，满足 $∠ Q C O = ∠ F E D$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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20、如图，在 $△ A B F$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，延长 $B F$ 至 $D$ ，使得 $D F = B F$ ，连接 $A D$ ，延长 $E F$ 至点 $C$ ，使得 $C F = A D$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 为平行四边形；

(2)、连接 $A C$ 交 $D B$ 于点 $O$ ，若 $C E ⊥ D B$ ， $E F = 1$ ， $A E = \sqrt{10}$ ，求 $A F$ ， $A C$ 的长．

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交易编码	种类与数量	销售总价（元）
1	一辆电动风力小车、两个简易电动风扇	18
2	两辆电动风力小车、三个简易电动风扇	31

	翻译准确率得分			识别速度得分
	平均数	中位数	众数	平均数	中位数	方差
A	8.2	8	① ▲	8.4	8.5	0.84
B	8.3	8.5	10	8.4	② ▲	1.44