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相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(18, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 6)$ ，以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时， $A C \cdot E F$ 的值（）

A、30 B、 $18 \sqrt{10}$ C、60 D、120

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2、某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要 $x$ 小时，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{1.5}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = 1.5$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1.5$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{1.5}$

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3、凸透镜成像的原理如图所示， $A D / / l / / B C$ ．若焦点 $F_{1}$ 到物体AH的距离与到凸透镜的中心 $O$ 的距离之比为6：5，若物体 $A H = 4 c m$ ，则其像CG的长为（）

A、 $\frac{5}{3} c m$ B、3cm C、 $\frac{10}{3} c m$ D、 $\frac{24}{5} c m$

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4、小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为 $3 c m 、 5 c m 、 10 c m 、 14 c m$ ．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5、将一个含 $3 0^{°}$ 角的三角尺和直尺如图放置，若 $∠ 1 = 5 0^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $6 0^{°}$ B、 $5 0^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $3 0^{°}$

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6、2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（）

A、 $0.25 \times 1 0^{5}$ B、 $2.5 \times 1 0^{5}$ C、 $25 \times 1 0^{3}$ D、 $2.5 \times 1 0^{4}$

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7、米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8、

(1)、（一）探究过程

如图①，在ABC中，BD平分 $∠ A B C$ 交AC于点 $D$ ，该同学得出 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D}$ ．如图②，该同学给出如下证明过程：

方法一：

如图②，过点 $A$ 作 $A E / / B C$ ，交AD延长线于点 $E$ ，

$∵ A E / / B C$

$∴ \frac{A E}{B C} =$ ▲ ①

$∠ 2 = ∠ E$

$∵ B D$ 平分 $∠ A B C$

$∴ ∠ 1 = ∠ 2$

$∴ ∠ E = ∠ 1$

$∴ A E =$ ▲ ②

$∴ \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D}$

方法二：

如图③过点D作 $D N ⊥ A B$ 于点 $N, D M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $∵ B D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $D N ⊥ A B, D M ⊥ B C$

$∴$ ▲ ③

$∴ \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}} = \frac{\frac{1}{2} A B \times D N}{\frac{1}{2} B C \times D M} =$ ▲ ④

又 $∵ \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}} = \frac{\frac{1}{2} A D \times B E}{\frac{1}{2} C D \times B E} = \frac{A D}{C D}$

$∴ \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D}$

请完成填空：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ；④ ▲ ；

(2)、（二）内化迁移

如图④，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当 $\frac{B A}{B C} = \frac{A D}{C D}$ 时，判断 $∠ A B D$ 与 $∠ D B M$ 的数量关系，并给出证明；

(3)、（三）问题解决

如图⑤，在矩形ABCD中， $A B = 6, A D = 4, E$ 为边BC上一点， $G$ 为CB延长线上一点． $Q$ 为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点 $H$ ，连接QE ，若 $Q C = 2 Q E, Q F$ 平分 $∠ C Q E$ 交BC于点 $F, F E = 1$ ，当 $G E = E C$ 时，连接QG、QD ，求 $Q D - B E$ 的最小值．

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9、综合与探究
【定义】对于y关于 $x$ 的函数，函数在 $x_{1} \leq x \leq x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内有最大值 $m$ 和最小值 $n$ ，则称 $m - n$ 为函数的极差值，记作 $R [x_{1}, x_{2}] = m - n$ ．
【示例】对于函数 $y = 2 x$ ，在 $- 2 \leq x \leq 3$ 范围内，当 $x = 3$ 时，该函数取最大值 $m = 6$ ；当 $x = - 2$ 时，该函数取最小值 $n = - 4$ ，即 $R [- 2, 3] = m - n = 6 - (- 4) = 10$ ．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、一次函数 $y = - x + 5$ 的极差值 $R [- 1, 2] =$ ▲ ；

(2)、已知函数 $y = | \frac{1}{4} x^{2} - 2 x |$ 的图象经过以下各点：
①绘图：
列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $q =$ ▲ ；
$x$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
$y$
…
$\frac{33}{4}$
$q$
$\frac{9}{4}$
0
$\frac{7}{4}$
3
$\frac{15}{4}$
4
$\frac{15}{4}$
3
$\frac{7}{4}$
0
$\frac{9}{4}$
5
$\frac{33}{4}$
…
描点：根据表中各组对应值 $(x, y)$ ，请在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
②求该函数的R[2，10]的值；

(3)、已知函数 $y_{1} = \frac{1}{k} x + 1 (k > 0)$ 和函数 $y_{2} = (a - 2) x^{2} - 4 a x + a^{2} - 4$ 是 $y$ 关于 $x$ 的函数，并且两个函数的 $R [0, \frac{9 k}{4}]$ 相等．其中函数 $y_{2} = (a - 2) x^{2} - 4 a x + a^{2} - 4$ 的图象经过点 $(0, 0)$ ，请直接写出 $k$ 的值．

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10、如图，AB为 $⊙ O$ 直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，过 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交AB的延长线于点 $E$ ．

(1)、尺规作图：过 $B$ 作CE的垂线，交CE于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）

(2)、若 $B E = 6, c o s ∠ A C F = \frac{3}{5}$ ，求BF的长．

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11、

背景	随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1		某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药， $A$ 型机比 $B$ 型机平均每小时少喷洒2公顷农田， $A$ 型机喷洒40公顷农田所用时间与 $B$ 型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2	若农业公司共购进20架无人机， $A$ 型无人机5万元／架， $B$ 型无人机6万元／架．
问题解决
任务1	A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2	若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买 $A$ 型和 $B$ 型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．

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12、图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点 $A$ 处时，测得天花板上日光灯 $C$ 的仰角为 $3 0^{°}$ ，此时他的眼睛 $D$ 与地面的距离 $A D = 1.7 m$ ，之后他沿一楼扶梯到达顶端 $B$ 后又沿 $B E (B E / / P Q)$ 向正前方走了3m，发现日光灯 $C$ 刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．

(1)、求图中 $B$ 到一楼地面的高度；

(2)、求日光灯 $C$ 到一楼地面的高度．（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到0.1）

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13、受2025年春晚节目《秋BOT》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有UnitreeH1和G1两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间 $x$ （分钟），并将其分四个等级：不合格 $x < 100$ ，合格 $100 \leq x < 110$ ，良好 $110 \leq x < 120$ ，优秀 $x \geq 120$ ，调查结果如下：
H1款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110；
G1款：
根据以上信息，解答下列问题：
类别
平均数
中位数
众数
方差
H1
113
113
a
21.8
G1
$b$
$c$
112
36.6

(1)、上表中 $a =$ ▲ ， $b =$ ▲ ， $c =$ ▲ ；

(2)、若该商场购买一批G1款人形机器人500台，请估算这批G1款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数；

(3)、根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）．

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14、以下是小麟同学化简分式

(\frac{a + 2}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{6}{a - 1}

的过程，根据他的过程，完成相应的任务．

解：原式 $= (\frac{a + 2}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}) \cdot \frac{a - 1}{6}$ ……………………………第一步

$= [\frac{a + 2}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{(a + 1) (a - 1)}] \cdot \frac{a - 1}{6}$ ……………………………第二步

$= \frac{a + 1}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a - 1}{6}$ ． ……………………………第三步

$= \frac{1}{6}$ ． ……………………………第四步

任务一：

从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ；

任务二：

请写出该分式化简的正确过程；

任务三：

当 $- 3 < a \leq 1$ 时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值．

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15、如图，点 $E$ 是正方形ABCD边AB上的一点，将 $△ C B E$ 沿直线CE翻折得到 $△ C F E$ ，连接DF并延长交CE的延长线于点 $P$ ，连接PA、PB ．若 $A E = 2 B E, A D = 3$ ，则 $B P =$ ．

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16、如图，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图像上，AC交 $y$ 轴于点 $B$ ．若 $B$ 是AC的中点， $△ A O C$ 的面积为5，则 $k$ 的值为．

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17、“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A、B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点 $O$ 是圆心，半径为 $57 m, A 、 B$ 是圆上的两点， $∠ A O B = 12 0^{°}$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为m．（结果保留π）

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18、如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取1张，则这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是．

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19、如图，甲、乙两车从 $A$ 城出发匀速行驶至 $B$ 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 $A$ 城的距离 $y$ （千米）与甲车行驶的时间 $t$ （小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时， $t = \frac{15}{4}$ 或 $t = \frac{25}{4}$ ．

A、3个 B、4个 C、2个 D、1个

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20、下列说法正确的是

A、连接两点之间的线段，叫做两点间的距离 B、一元二次方程 $x^{2} = x$ 的根为 $x = 1$ C、 $18 . 6^{°} = 1 8^{°} 6^{^{'}}$ D、若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上

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$x$	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…
$y$	…	$\frac{33}{4}$	$q$	$\frac{9}{4}$	0	$\frac{7}{4}$	3	$\frac{15}{4}$	4	$\frac{15}{4}$	3	$\frac{7}{4}$	0	$\frac{9}{4}$	5	$\frac{33}{4}$	…

类别	平均数	中位数	众数	方差
H1	113	113	a	21.8
G1	$b$	$c$	112	36.6