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1、下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线 $l$ 和直线 $l$ 外一点 $P$ ．求作：直线 $P M$ ，使直线 $P M ∥$ 直线 $l$ ．
作法：如图2，
①在直线 $l$ 上任取一点 $A$ ，作射线 $A P$ ；
②以 $P$ 为圆心， $P A$ 为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ，连接 $P B$ ；
③以 $P$ 为圆心， $P B$ 长为半径作弧，交射线 $A P$ 于点 $C$ ；分别以 $B$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径作弧，在 $A C$ 的右侧两弧交于点 $M$ ；
④作直线 $P M$ ；
所以直线 $P M$ 就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：

(1)、根据上述作图过程可知：射线 $P M$ 平分 $∠ C P B$ ，这种作角的角平分线的方法的依据是        (填序号)．
① $S S S$ ；②平行线性质；③平行公理．

(2)、完成下面的证明：
证明：由作图可知 $P M$ 平分 $∠ C P B$ ，
$∴ ∠ C P M = ∠$          $=$ $\frac{1}{2} ∠ C P B$ ．
$∵ ∠ P A B = ∠ P B A ($ 已知 $)$
$∵ ∠ C P B = ∠ P A B + ∠ P B A$ ，
$∴$ $∠ P A B = ∠ P B A = \frac{1}{2} ∠ C P B$ ．
$∴ ∠ C P M = ∠ P A B$ ，
$∴$ 直线 $P M ∥$ 直线 $l$ ． (                 )(填写推理依据)

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2、如图，BC=EC，∠1 =∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为（答案不唯一，只需填一个）

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3、如图，点B、C、E三点在同一直线上，且 $A B = A D$ ， $A C = A E$ ， $B C = D E$ ，若 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 96 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为．

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4、如图，在 $7 \times 9$ 的正方形网格中，到 $∠ A O B$ 两边距离相等的点是（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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5、图中，以DE为边的三角形有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6、如图， $∠ A O C$ 与 $∠ B O C$ 互为补角， $∠ B O C$ 与 $∠ B O D$ 互为余角，且 $∠ B O C = 4 ∠ B O D$ ．

(1)、求 $∠ B O C$ 的度数；

(2)、若 $O E$ 平分 $∠ A O C$ ，求 $∠ B O E$ 的度数．

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7、计算： ${(- 1)}^{2} + 8 \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - 2 \div \frac{1}{5}$ ．

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8、计算： $68 ° 3 6^{'} - 32 ° 3 3^{'} =$ ．

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9、如图，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1， $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $A D$ 是中线，求 $A D$ 的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长 $A D$ 到E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，证明 $△ B E D ≌ △ C A D$ ，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明 $△ B E D ≌ △ C A D$ 的判定定理是：         ．
（2） $A D$ 的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $∠ C A D = 45 °$ ，在 $A D$ 上取一点E，连接 $B E$ ，若 $B E = A C = 4$ ，则“燕尾”四边形 $A E B C$ 的面积为                        ．

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11、如图，已知 $△ A B C$ 中，其中 $A (0, - 2), B (2, - 4), C (4, - 1)$ ．

(1)、画出与 $△ A B C$ 关于y轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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12、在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $A D = 8 (m > 8)$ ，将两张边长分别为 $n$ 和 $3 (n > 3)$ 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分的面积为 $S_{2}$ ．若 $S_{2} - S_{1} = 3$ ，则 $m =$ ．

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13、如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，∠B＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝．

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14、如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为4， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $F$ 是 $A D$ 边上的动点， $E$ 是 $A C$ 边上一点．若 $A E = 2$ ，当 $E F + C F$ 取得最小值时，则 $∠ E C F$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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15、如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $(a + 2 b) (a - b) = a^{2} + a b - 2 b^{2}$

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16、如图， $∠ A = ∠ D, ∠ E = ∠ F, A B = C D$ ，则 $△ A C E ≌ △ D B F$ 的依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $HL$ D、 $AAS$

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17、以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图，反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象与一次函数 $y = k x + b$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(2, 6)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(n, 1)$ ．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、直接写出 $k x + b - \frac{m}{x} > 0$ 时的 $x$ 的取值范围；

(3)、点 $E$ 为 $y$ 轴上一个动点，若 $S_{△ A B E} = 5$ ，求点 $E$ 的坐标．

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19、某校举办“学生讲堂”，九年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分 $100$ 分）分别是 $94$ 分、 $88$ 分．在面试中，十位评委对甲、乙两位同学的表现进行打分，每位评委最高打 $10$ 分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙两位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲、乙两位同学打分的折线统计图
信息二：甲、乙两位同学面试情况统计表
同学
面试成绩
评委打分的中位数
评委打分的众数
甲
$86$
$9$
$10$
乙
$87$
$m$
$8$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $m =$ ____________分．

(2)、在面试中，如果评委给某位同学的打分的波动越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对______________的评价更一致（填“甲”或“乙”）．

(3)、按笔试成绩占 $40 %$ ，面试成绩占 $60 %$ 确定甲、乙两位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，给出下列4组条件．
① $A B = B C = C D = A D$ ② $∠ A B C = ∠ B C D$ ， $∠ C D A = ∠ D A B$ ．
③ $O A = O C$ ， $O B = O D$ ， $A C ⊥ B D$ ， ④ $∠ A B C = ∠ B C D = ∠ C D A = 90 °$
其中，能得到“四边形 $A B C D$ 是菱形”的条件有（）

A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

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