相关试卷

1、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x = 1$

(2)、 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

(3)、 ${(x - 3)}^{2} - 2 x (x - 3) = 0$

(4)、 $2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

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2、定义：关于x的一元二次方程： $a_{1} {(x - m)}^{2} + n = 0 (a_{1} 、$ m、n是常数， $a_{1} \neq 0)$ 与 $a_{2} {(x - m)}^{2} + n = 0 (a_{2} 、$ m、n是常数， $a_{2} \neq 0)$ 称为“同族二次方程”．例如： $2 {(x - 3)}^{2} + 4 = 0$ 与 $3 {(x - 3)}^{2} + 4 = 0$ 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 $2 {(x - 1)}^{2} + 1 = 0$ 与 $a x^{2} + b x + 5 = 0$ (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 $a x^{2} - b x + 2030$ 的最小值是．

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3、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a c \neq 0)$ 有一根为x=m，则关于x的一元二次方程 $c x^{2} - b x + a = 0 (a c \neq 0)$ 必有一根为．

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4、一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根为a与b，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值是．

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5、如图，在长为32m，宽为20m的长方形底面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪的面积为540m² ，设道路的宽为x米，可列方程为．

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6、关于 x 的一元一次方程 $k x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 有实数根，则k 的取值范围为．

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7、一元二次方程 ${(x + 2)}^{2} = 2 x + 1$ 化为一般式为．

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8、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 下列说法中正确的个数是（）
①若x=c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 ac+b+1=0成立：
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实数根：
③若a+c=b，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一根为x=-1：
④若b=2a+3c，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、已知a，b是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 t x + t^{2} - 2 t + 4 = 0$ 的两个实数根，则(a+4)(b+4)的最小值是( )．

A、11 B、20 C、28 D、36

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10、已知关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ 的解 $x_{1} = - 2, x_{2} = 1$ 是(a，m，b均为常数，a≠0)则方程 $a {(3 x + m + 1)}^{2} + b = 0$ 的解是( )．

A、 $- x_{1} = - 5, x_{2} = 4$ B、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 0$ C、 $x_{1} = - 2, x_{1} = 1$ D、无法求解

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11、若关于x的方程 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 k x - 4 k + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则代数式 $2026 - 2 k^{2} - 4 k$ 的值为( )．

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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12、甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙写错了一次项系数，得到方程的两根是-9和-1，则原来的方程是( )．

A、 $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ B、 $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ C、 $x^{2} + 10 x + 16 = 0$ D、 $x^{2} - 10 x + 16 = 0$

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13、新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为( ).

A、 $2020 (1 + x^{2}) = 4000$ B、2020(1+2x)=4000 C、 $2020 {(1 + x)}^{2} = 4000$ D、 $4000 {(1 - x)}^{2} = 2020$

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14、若一个三角形两条边长为2和4，第三条边长满足方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0,$ 则此三角形的周长为( )．

A、8 B、11 C、8或11 D、8或10

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15、下列方程中，有两个相等的实数根的是( )．

A、 $x^{2} + 3 x = 0$ B、 $x^{2} + 4 x = 4$ C、 $x^{2} + 2 x = - 1$ D、 $x^{2} - 4 = 0$

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16、一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 2017 = 0$ 化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则a+b的值为( )．

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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17、若 $(m - 2) x^{2} - 3 x - n = 0$ 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为( )．

A、m≠2 B、m>2 C、m<2 D、0<m<2

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18、阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
若 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ，求代数式 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．
解： $∵ \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ， $∴ \frac{x^{2} + 1}{x} = 2$ ，即 $\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 2$ ， $∴ x + \frac{1}{x} = 2$ ，
$∴ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 2^{2} - 2 = 2$ ．

(1)、若 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{3}$ ，则 $x + \frac{1}{x} =$ ________， $\frac{x^{2}}{x^{4} + 7 x^{2} + 1} =$ ________；

(2)、解分式方程组 $\{\begin{cases} \frac{m n}{2 m + 3 n} = \frac{1}{5} \\ \frac{m n}{3 m + 2 n} = \frac{1}{3} \end{cases}$ ；

(3)、若 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{2024}$ ， $\frac{b c}{b + c} = - \frac{1}{2025}$ ， $\frac{a c}{a + c} = \frac{1}{2026}$ ，求 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值．

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19、【综合与探究】
问题情境：将矩形 $A B C D$ 绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形 $A^{'} B^{'} C D^{'}$ ，点A，B，D的对应点分别为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $D^{'}$ ，设直线 $A D$ 与直线 $A^{'} D^{'}$ 交于点E．
猜想证明：
（1）猜想 $D E$ 与 $D^{'} E$ 的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点 $B^{'}$ 恰好落在矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上时，点 $A^{'}$ 恰好落在 $A D$ 的延长线上（即点 $A^{'}$ 与点E重合），连接 $A^{'} C$ ，求证：四边形 $A^{'} D B C$ 是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形 $A B C D$ 绕点C顺时针旋转的过程中，若 $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，当 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， D三点在同一条直线上时，请直接写出 $A^{'} D$ 的值．

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20、蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线 $A E D$ 构成，其中 $A B = 3 m$ ， $B C = 4 m$ ，取 $B C$ 中点 $O$ ，过点 $O$ 作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点 $E$ ，若以 $O$ 点为原点， $B C$ 所在直线为 $x$ 轴， $O E$ 为 $y$ 轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：

(1)、如图2，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0, 4)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图4，在某一时刻，太阳光线透过 $A$ 点恰好照射到 $C$ 点，此时大棚截面的阴影为 $C K$ ，求 $C K$ 的长．

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