相关试卷

1、下列实数中，是无理数的是（）

A、 $1. \overset{\cdot}{3} \overset{\cdot}{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\sqrt[3]{27}$

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2、综合与实践：
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届， $I C M E - 14$ 于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．
（提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为 ${(011)}_{2}$ ）

(1)、【观察发现】
左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为______，______，______；

(2)、【解决问题】
二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ ，依此类推），然后相加．
例如： ${(011)}_{2} = 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 0 + 2 + 1 = 3$ .（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即 $2^{0} = 1$ ）
①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为______（提示：类似于十进制的计算方法，逢二进一进行计算）
②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）

(3)、【类比迁移】
请用十进制求出 ${(2024)}_{3} + {(2024)}_{4}$ 的结果．

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3、刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）．

(1)、已知表盘直径 $B C$ 为 $3 cm$ ， $C D : A B = 2 : 1$ ，若B是 $A C$ 中点，求：手表 $A D$
的全长．

(2)、在某个时刻，分针 $O N$ 指向表盘上的数字“6”（此时 $O N$ 与 $O C$ 重合）.时针为 $O E$ ，琪琪一看现在正好是 $8 : 30$ ，如图③所示．则 $8 : 30$ 时分针和时针的夹角为______度．

(3)、在（2）的条件下，作射线 $O M$ ，使 $∠ E O M = 25 °$ ，则 $∠ B O M$ 的度数为________．

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4、春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打8折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是2800元．

(1)、求每个“巳升升”摆件的进价是多少元?

(2)、请你算一算打8折前共售出多少个“巳升升”摆件?

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5、如图、已知直线 $l$ 和点A、B、P．

(1)、请用没有刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①画射线 $P B$ ；
②连接 $A P$ ，在线段 $A P$ 的延长线上作线段 $P C$ ，使 $P C = P A$ ；

(2)、连接 $B C$ ，则 $A C < B C + A B$ 成立的理由是____．

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6、（1）计算： ${(- 1)}^{2021} + |2 - (- 3)| + 3 \div (- 1)$ ；
（2）解方程： $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} - 2$ ．

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7、如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为 $- 4$ ，点B是 $A C$ 的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒 $(t > 0)$ ，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度．

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8、如果方程 $(m - 1) x^{2 |m| - 1} + 2 = 0$ 是一个关于 $x$ 的一元一次方程，那么 $m$ 的值是．

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9、在《哪吒之魔童闹海》电影中，哪吒用火尖枪刺向敌人时，枪尖在空气中划出一道红色光痕，用数学知识解释为．

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10、下列说法错误的是（）

A、若 $- 2 x = - 2 y$ ，则 $x = y$ B、若 $a = b$ ，则 $2 a = a + b$ C、若 $x^{2} = 5 x$ ，则 $x = 5$ D、若 $\frac{a}{c^{2} + 1} = \frac{b}{c^{2} + 1}$ ，则 $a = b$

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11、进入冬季，长春各个景区制作了大量的冰雕和雪雕作品供游人参观．图①是一个冰雕作品，图②是作品中的冰台阶造型，这个冰台阶如图②所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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12、 $|- 2|$ 的相反数等于（）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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13、下列分式中，属于最简分式的是（）

A、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ B、 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ C、 $\frac{9}{3 a}$ D、 $\frac{2}{x - 1}$

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14、如图1，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $Rt △ A B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ C B E^{'}$ （点 $A$ 的对应点为点 $C$ ）．延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ．

(1)、试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由．

(2)、如图2，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $E^{'} F$ 的数量关系并加以证明．（提示：作 $D H ⊥ A E$ 于 $H$ ）

(3)、在解决问题（2）时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决以下问题：
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D = 2 \sqrt{10}$ ， $C D = \sqrt{5}$ ，连接 $A C$ ， $B D$ ，当 $\frac{C B}{A B} = \frac{1}{2}$ 时，请直接写出 $B D$ 的最大值．

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15、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m + 10 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 4$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 恰好是 $△ A B C$ 另外两边的边长，求这个三角形的周长．

(3)、阅读材料：若 $△ A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$ ，则 $S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，这就是海伦—秦九韶公式，如图，在（2）的条件下，若其中 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的角平分线交于点 $I$ ，试利用阅读材料中的信息，求 $△ B I C$ 的面积．

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16、综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1：某农户承包了一块长方形果园 $A B C D$ ，如图是果园的平面图，其中 $A B = 200$ 米， $B C = 300$ 米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿 $B C$ 方向）的宽度都为 $2 x$ 米，左右两条纵向道路（沿 $A B$ 方向）的宽度都为 $x$ 米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度 $x$ 不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含 $x$ 的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度 $x$ 是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）

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17、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与 $y$ 轴， $x$ 轴分别交于 $A, B$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $C (1, 2), D (2, n)$ 两点．

(1)、求一次函数以及反比例函数的表达式．

(2)、直接写出：不等式 $a x + b \geq \frac{k}{x}$ 的解集．

(3)、如图2，过点 $C$ 作 $C M ⊥ y$ 轴于点 $M$ ，过点 $D$ 作 $D N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，求五边形 $O M C D N$ 的面积．

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18、每年的11月9日是“119消防宣传日”，本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成A，B，C，D，E五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：

(1)、接受测评的学生共有_______人，并补全条形统计图．

(2)、若该校共有学生3000人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数．

(3)、测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，请你用树状图或列表的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．

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19、先化简，再求值： $\frac{2 m^{2} + 4 m}{m^{2} - 4} \cdot \frac{m^{2} - 4 m + 4}{m}$ ，其中 $m = 1$ ．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 70 °$ ， $∠ C = 35 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $A C$ 边的垂直平分线，交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A D$ ，求 $∠ B A D$ 的度数．

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