相关试卷

1、项目学习

项目背景	某学校内有一池塘，在数学综合实践活动课上，老师要求学生利用三角形有关知识测量池塘A、B两端（两点均在地面上，但无法直接测量）的距离．
项目主题	距离的测量与计算
测量小组	甲组	乙组	丙组
测量示意图
测量方案	如图①，设A、B两点所在直线为东西方向，沿点A南偏东 $50 °$ 方向作射线 $A M$ ，沿点B南偏东 $10 °$ 的方向作射线 $B N$ ，交 $A M$ 于点C，最后测量 $B C$ 的长即可．	如图②，过点B作射线 $B E$ ，过点A作 $A C ⊥ B E$ 于C，以A为顶点作 $∠ C A D = 30 °$ ，边 $A D$ 交射线 $C E$ 于D，最后测量 $A D$ 的长即可．	如图③，在地面上取一个可以直接到达A，B两端的点O，连接 $A O$ 并延长到C，使 $O C = A O$ ，连接 $B O$ 并延长到D，使 $O D = B O$ ，连接 $C D$ ，最后测量 $C D$ 的长即可．

(1)、甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是_______组；（填“甲”、“乙”或“丙”）

(2)、请你选择一个可行的方案，并说明可行的理由；

(3)、对于（1）中不可行的方案，请只改变或添加某一个条件使该方案可行，并说明理由；或你自己利用三角形有关知识另外设计一个新的可行方案，画出示意图，写出测量方案，并说明理由．

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2、综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？
【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒．
【问题解决】

(1)、现有 $12$ 张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？

(2)、如果需要制作 $14$ 个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)；

(3)、有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由．

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3、阅读下列材料，解决问题

双十一怎样发货更经济?

双十一期间一客户在小康家定了10箱砂糖桔，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示：

与标准质量的差值(单位：千克)	$0.3$	$0.1$	$- 0.1$
箱数	2	4	4

素材1

素材2

某快递公司收费标准：首重1千克以内8元(含1千克)，续重(超过1千克的部分)2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克需要额外支付包装费30元。

素材3

据小康家常年的邮寄经验，包裹越大，砂糖桔受损率越高.一个包裹在20千克以内，砂糖桔几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，砂糖桔的受损率估计为5%，破损部分由小康家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金.

问题解决

任务1

计算这10箱砂糖桔的总质量.

任务2

方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄.请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小康家支付的邮费更省?省多少钱?

任务3

今年砂糖桔的成本价为6元/千克，售价为12元/千克，结合任务2，邮寄10箱砂糖桔哪种方案利润更高?

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4、综合与探究
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．

(1)、模型感知：如图 $1$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点， $M$ 是 $A C$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 的中点．
若 $A B = 6$ ， $A C = 2$ ，则 $M N =$ ______；

(2)、类比探究：“创新”小组的同学类比想到：如图 $2$ ，已知 $∠ A O B = 70 °$ ，在角的内部作射线 $O C$ ，再分别作 $∠ A O C$ 和 $∠ B O C$ 的角平分线 $O M$ ， $O N$ ．求 $∠ M O N$ 的度数；

(3)、拓展探究：
“奋进”小组在 “创新”小组的基础上提出：如图 $3$ ，若 $∠ A O B = n °$ ，在角的外部作射线 $O C$ ，再分别作 $∠ A O C$ 和 $∠ B O C$ 的角平分线 $O M$ ， $O N$ ．若 $∠ A O C = m °$ ，求 $∠ M O N$ 的度数；

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5、如图B、C两点把线段 $A D$ 分成 $2 : 3 : 4$ 的三部分，M是 $A D$ 的中点， $C D = 8$ ，求 $M C$ 的长．

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6、已知 $A = 3 x - 4 x y + 7 y, B = - 3 x + 2 x y + y$ ．

(1)、化简 $A - B$ ；

(2)、当 $x + y = \frac{1}{2}$ ， $x y = - 1$ 时，求 $A - B$ 的值；

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7、解方程：

(1)、 $5 x + 2 = 3 x + 2$

(2)、 $\frac{5 x + 1}{3} - \frac{2 x - 1}{6} = 1$ ．

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8、计算：

(1)、 ${(- 2)}^{2} \times \frac{1}{4} + (- 14) \div 2$ ；

(2)、 $(\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{7}{6}) \times (- 60)$

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9、“地”是城市景观空间的根本，不同的“地”体现了不同空间的使用特征．城市铺地，由于它自始至终地伴随着生活在城市的人们，影响着城市的风景效果，所以也成为城市整个空间构成中不可缺少的一部分、现用灰、白两种颜色的五边形地砖，按如图所示的规律，拼成若干个“蝴蝶”型图案，对某城市的人行道路进行铺设，第①幅“蝴蝶”型图案中灰色地砖有4块，第②幅“蝴蝶”型图案中灰色地砖有7块，…，则第n幅“蝴蝶”型图案中灰色地砖有块．

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10、如图， $∠ A O C = 90 °$ ， $O C$ 平分 $∠ D O B$ ，且 $∠ D O C = 22 °$ ， $∠ B O A$ 度数是．

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11、若 $a = b + 1$ ，则 $2 a - 2 b + 3$ 的值为．

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12、若小明体重增加 $3 kg$ 记为 $+ 3 kg$ ，则小明体重减少 $1.5 kg$ 应记为 $kg$ ．

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13、计算机使用二进制，它共有两个数码 $0 ， 1$ ．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个 $2^{n}$ 数的和，依次写出 $1$ 或 $0$ 即可．如 $19_{(10)} = 16 + 2 + 1 = 1 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 10011_{(2)}$ ，为二进制下的五位数，则十进制 $139$ 是二进制下的（）

A、7位数 B、8位数 C、9位数 D、10位数

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14、某商店在甲批发市场以每包 $a$ 元的价格购进了 $40$ 包茶叶，又在乙批发市场以每包 $b$ 元 $(a < b)$ 的价格购进了同样的茶叶 $60$ 包．如果将这些茶叶以每包 $\frac{a + b}{2}$ 元的价格全部卖出，那么这家商店盈利还是亏损（）

A、盈利 B、亏损 C、不盈不亏 D、盈亏不能确定

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15、历史上，数学家欧拉最先把关于 $x$ 的多项式用记号 $f (x)$ 的形式来表示，把 $x$ 等于某数 $a$ 时的多项式的值用 $f (a)$ 来表示，例如 $x = - 3$ 时，多项式 $f (x) = x^{2} + 3 x - 5$ 的值记为 $f (- 3)$ ，那么 $f (- 3)$ 等于（）

A、 $- 5$ B、 $- 6$ C、 $- 7$ D、 $- 8$

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16、用代数式表示比a的平方的一半小1的数是（）

A、 ${(\frac{1}{2} a)}^{2}$ B、 $\frac{1}{2} a^{2} - 1$ C、 $\frac{1}{2} {(a - 1)}^{2}$ D、 ${(\frac{1}{2} a - 1)}^{2}$

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17、下列运算结果正确的是（）

A、 $- a^{2} - a^{2} = - 2 a^{2}$ B、 $5 a b - (- 3 a b) = 2 a b$ C、 $x + 2 (x - y) = 3 x - y$ D、 $4 m + 2 n - (n - m) = 5 m - n$

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18、若 $2 a^{2} b^{n + 1}$ 与 $- 2 a^{m} b^{2}$ 是同类项，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $1$ D、 $- 2$

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19、将二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象在 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 $y = x + b$ 与新函数的图象有4个公共点时，则 $b$ 的范围为（）

A、 $- 3 < b < 1$ B、 $- \frac{21}{4} \leq b < - 3$ C、 $b < - \frac{21}{4}$ D、 $- \frac{21}{4} < b < - 3$

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20、阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务．

黄金分割数

一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数．

例如，如图1，点 $C$ 为线段 $A B$ 上一点，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成 $A C$ 和 $B C$ 两段，其中 $A C < B C$ ．若线段 $A C, B C, A B$ 之间的关系满足 $\frac{A C}{B C} = \frac{B C}{A B} = k$ ，则点 $C$ 是线段 $A B$ 的一个黄金分割点，k称为黄金分割数．

下面是求黄金分割数 $k$ 的解答过程：

设 $A B = 1, B C = x$ ，则 $A C = 1 - x$ ，．．．．．．

任务：

(1)、概念理解：根据材料可知，一条线段有个黄金分割点．

(2)、补全材料中求黄金分割数

k

的解答过程．

(3)、拓展应用：如图2，在线段

A B

上用无刻度的直尺和圆规求作一点

C

，使得

\frac{B C}{A B} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}

．（保留作图痕迹，不写作法）

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