相关试卷

1、下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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2、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B, C D = 3 cm$ ，则 $D E$ 等于（）

A、 $1cm$ B、 $2cm$ C、 $3cm$ D、 $4cm$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (3, - 4)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标是（）

A、 $(3, - 4)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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4、下列三条线段的长度能组成三角形的是（）

A、3，3，6 B、4，5，8 C、5，6，11 D、6，8，15

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5、若分式 $\frac{x}{x + 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 2$ B、 $x = 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x = - 2$

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6、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- a - 3, - 2 + a)$ ， $B (- a, - 2 + a)$ ， $C (- a, - 2)$ ， $D (- a - 3, - 2) (a \neq 0)$ ．
对于点 $P$ 给出如下定义：将点 $P$ 向上（ $a > 0$ ）或向下（ $a < 0$ ）平移 $|a|$ 个单位长度，得到点 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于直线 $l$ （直线 $l$ 上的各点的横坐标都为 $a$ ）的对称点为 $Q$ ，则称点 $Q$ 为点 $P$ 的“平称点”．

(1)、当 $a = 1$ 时，
①点 $B$ 的“平称点”的坐标为________；
②若点 $M (m, n)$ 的“平称点”在线段 $C D$ 上，直接写出 $m$ 的取值范围以及 $n$ 的值；

(2)、点 $E (a - 1, 0)$ ，点 $F (0, a - 1)$ ，若线段 $E F$ 上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形 $A B C D$ 有两个交点，直接写出 $a$ 的取值范围．

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $0 ° < ∠ B A C < 60 °$ ． D是一个动点，且 $A D ⊥ B D$ ，过点A在 $Rt △ A B D$ 的外侧作直线 $A E$ ，使 $∠ D A E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，点D关于直线 $A E$ 的对称点为F．

(1)、如图1，当点D在 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上时，连接 $A F, F C$ ，直接写出 $∠ A F C$ 的度数；

(2)、如图2，当点D在 $△ A B C$ 的外部，且在 $∠ A B C$ 的内部时，连接 $A F, F C$ ，射线 $F D$ 交 $B C$ 于点M．
①依据题意，补全图2；
②用等式表示 $B M$ 与 $B C$ 的数量关系并证明．

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9、下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 $P Q$ ，使得 $P Q ∥ l$ ．
作法：如图，
①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 $A P$ 于点C，交射线 $A B$ 于点D，分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ P A B$ 的内部相交于点E，作射线 $A E$ ；
③以点P为圆心， $P A$ 为半径作弧，交射线 $A E$ 于点Q（不与点A重合），作直线 $P Q$ ．所以直线 $P Q$ 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $C E, D E$ ．
在 $△ C A E$ 和 $△ D A E$ 中，
$\{\begin{matrix} A C = A D \\ A E = A E \\ ____=____ \end{matrix}$
$∴ △ C A E ≌ △ D A E (SSS)$ ．
$∴ ∠ C A E = ∠ D A E$ ．
$∵ P A = P Q$ ，
$∴ ∠ C A E =$ ________（________）（填推理的依据）．
$∴ ∠ D A E =$ ________．
$∴ P Q ∥ l$ ．

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10、如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点．

(1)、建立平面直角坐标系 $x O y$ ，使点A，B的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ ；

(2)、在（1）建立的平面直角坐标系 $x O y$ 中，
①点 $C_{1}$ 与点C关于y轴对称，写出点 $C_{1}$ 的坐标；
②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数．

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11、洛阳文峰塔始建于宋代，明末毁于战火，清初重建．塔身九层，通体用青砖砌成，是一座密檐式砖石塔．塔基为方形青石砌成，塔身每层檐下施有砖质斗拱，造型古朴典雅：前人建造此塔有“祈福赐恩”之意，企盼洛阳文化繁荣、多出人才．因此，文峰塔又被人们亲切地称为“状元塔”，在综合实践活动中，某数学课外活动小组开展了“测量文峰塔的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表．

课题	测量文峰塔的高度
测量方案	说明：如图2， $A B$ 代表文峰塔，他们选择了一座高为7.5m的古建筑 $C D$ ，并测得这座古建筑与文峰塔之间的距离 $B D$ 为40m．他们在两者之间的点 $F$ 处利用1.5m高的测角仪，测得文峰塔顶点 $A$ 的仰角为 $α$ ，古建筑顶点 $C$ 的仰角为 $β$ （点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一平面内， $E H ⊥ C D$ ）
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	仰角 $α$ 的度数	$41.7 °$	$42.3 °$	$42 °$
	仰角 $β$ 的度数	$36.2 °$	$37.8 °$	$m$
参考数据	$\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90$

(1)、表中

m

的值为______________．

(2)、求文峰塔

A B

的高度（结果精确到0.1m）

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12、2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知 $E F$ 是水平线， $A B = 2.4 m$ ， $E D = 2.1 m$ ， $A B$ ， $D E$ 的仰角分别是 $30 °$ 和 $10 °$ ， $B C = 0.7 m$ ， $C D = 0.812 m$ ，且 $C D ⊥ E F$ ．
（以上结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．）

(1)、求点A的铅直高度；

(2)、求A，E两点的水平距离．

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13、在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在 $t = 0$ 秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在 $t = 1$ 秒时高度为32厘米，在 $t = 2$ 秒时高度为0厘米．

(1)、求高度h与时间t之间的函数关系式；

(2)、求膝盖能达到的最大高度及对应的时间；

(3)、若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？

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14、已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 $(3, 1)$ ， $(2, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ O A B$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ O A_{1} B_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标为______；

(2)、在y轴的左侧以O为位似中心作 $△ O A B$ 的位似图形 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使新图与原图相似比为 $2 : 1$ ；

(3)、若点 $D (a, b)$ 在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点 $D_{2}$ 的坐标为______．

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15、（1）如图，D、E是 $△ A B C$ 的边 $A C 、 A B$ 上的点，且 $A D \cdot A C = A E \cdot A B$ ，求证： $∠ A D E = ∠ B$ ．
（2）已知二次函数 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 2$ ，求抛物线的顶点坐标和对称轴；当x取何值时，函数y等于0．

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16、已知： $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} \neq 0$ ，求 $\frac{a + b}{c}$ 的值．

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17、某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为

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18、 $tan 45 °$ 的值等于

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19、如图， $△ A B C$ 是面积为1的等边三角形，分别取 $A C ， B C ， A B$ 的中点得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；再分别取 $A_{1} C$ ， $B_{1} C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；…依此类推，则 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{n}$ C、 ${(\frac{1}{4})}^{n}$ D、 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

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20、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　）

A、1：1 B、4：3 C、3：2 D、2：3

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