相关试卷

1、小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
求作：线段 $C D$ ，使得线段 $C D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ，与斜边 $A B$ 相交于点 $D$ ；②连接 $C D$ ，则线段 $C D$ 为所求．

(1)、请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵$ 直线 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线．点 $D$ 在直线 $M N$ 上，
$∴ D C =$ ___________．（___________）（填推理的依据）
$∴ ∠ A = ∠$ ___________．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ，
$∴ ∠ B C D = 90 ° - ∠ A C D$ ．
$∠ B = 90 ° - ∠$ ___________．
$∴ ∠ B C D = ∠ B$ ．
$∴ D C = D B$ ．（___________）（填推理的依据）
$∴ △ D C B$ 和 $△ D C A$ 都是等腰三角形．

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2、如图，和谐广场有一块长为 $(4 a + 2 b)$ 米、宽 $(3 a + b)$ 米的长方形空地，角上有两块边长均为 $(a - b)$ 米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）

(1)、用含有 $a ， b$ 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

(2)、若 $a = 30$ ， $b = 10$ ，求出绿化的总面积．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上，沿 $A D$ 将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与 $B C$ 边上的点 $C^{'}$ 重合，展开后得到折痕a．

(1)、折痕a是 $△ A B C$ 的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”）

(2)、若 $∠ B A C^{'} = 10 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ D A C$ 的度数．

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M$ ，点 $N$ ，点 $P$ ，若 $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，且 $P N \leq P M$ ，则称点 $N$ 为点 $M$ 关于点 $P$ 的“正矩点”．

(1)、如图1所示的平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $S (1, 4), P_{1} (- 4, 1)$ ， $P_{2} (- 2, 4), P_{3} (2, \frac{1}{2}), P_{4} (- 1, - 2)$ ，其中点 $S$ 关于原点 $O$ 的“正矩点”是；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, 3), B (5, 0)$ ，点 $D ， E$ 分别为 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴上的动点，点 $D$ 关于点 $E$ 的“正矩点”记为点 $C (x_{C}, y_{C})$ ，点 $C (x_{C}, y_{C})$ 在第一象限．
①当点 $E$ 与 $A$ 重合， $O D$ 小于4时，求点 $C$ 纵坐标 $y_{c}$ 的取值范围；
②当点 $E ， D$ 分别在线段 $O A ， O B$ 上运动时，直接写出符合题意的点C $(x_{C}, y_{C})$ 形成区域的面积．

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5、如图，在四边形 $A B C F$ 中，D，E分别是边 $A F$ ， $B C$ 上的动点，将四边形 $A B C F$ 沿 $D E$ 折叠，

(1)、如图1， $∠ A^{'}$ ， $∠ B^{'}$ 与 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 的数量关系是，

(2)、如图2， $∠ A^{'}$ ， $∠ B^{'}$ 与 $∠ 1$ ， $∠ 2$ 的数量关系是．

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6、如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 3, 2)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、平移 $△ A B C$ ，若 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(0, - 3)$ ，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2} ；$

(3)、在 $x$ 轴上有一点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小，请直接写出点 $P$ 的坐标．

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7、如图一，四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B ＝ C B$ ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
小张同学想到了一种画出筝形的方法如下，请你和他一起完成作图和说理：

(1)、如图二，先任意画一个 $△ A B C$ ；

(2)、作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$ ；（请利用圆规和无刻度的直尺，尺规作图，保留作图痕迹）

(3)、过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ；

(4)、根据角平分线的性质得　     　＝　     　；
进而可以证明△　     　≌△　     　，
根据全等三角形性质可以得到则　     　＝　     　；
四边形　     　为筝形．

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8、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $D$ 是 $B C$ 中点，若 $A D$ 的长是整数，则 $A D =$ ．

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9、如图， $P$ 是射线 $O N$ 上一动点， $∠ O = 30^{\circ}$ ，则当 $∠ A$ 的度数为时，△AOP为等腰三角形．

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10、如图，在等边 $△ A B C$ 和等边 $△ E C D$ 中， $B$ ， $C$ ， $D$ 三点共线， $A C$ 与 $B E$ ， $A D$ 与 $B E ， A D$ 与 $C E$ 分别交于点 $F$ ，点 $H$ ，点 $G$ ，下列四个结论中：① $A D = B E$ ；② $C H$ 平分 $∠ B H D$ ；③ $F G ∥ B D$ ；④ $E H + C H = D H$ ．所有正确的结论是（）

A、①② B、①②③ C、①③④ D、①②③④

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11、下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知 $O$ 是直线 $A B$ 上的一点， $∠ C O D$ 是直角．

(1)、如图1，若 $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，当 $∠ B O F = 25 °$ 时，求 $∠ A O C$ 的度数；

(2)、如图2， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ， $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，求 $∠ E O F$ 的度数；

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13、如图，表中给出的是某月的日历表，在该表中任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①70；②84；③105；④140，其中正确的可能有．（填写序号）

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14、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在一条直线上，如果 $∠ 1 = 27 ° 2 4^{'}$ ，那么 $∠ 2 =$ ．

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15、阅读并解决相应问题
在数轴上，点A表示的数为 $- 2$ ，点B表示的数为3．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”如图1，若点P表示的数为 $\frac{1}{2}$ ，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 $\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$ ，则称点P为点A、B的“5节点”．

(1)、填空：
①若点P表示的数为0，则n的值为________；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．

(2)、类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值．

(3)、拓展延伸：
若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的 $\frac{2}{3}$ ，且此时点P为点A、B的“n节点”，求点P表示的数及n的值．

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16、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)、填空： $|a| =$ ______； $|a - b| =$ ______；

(2)、化简： $|a + c| - 3 |c - b| + 2 |a + b|$ ．

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17、如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} \geq 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $| a | > | b |$

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18、【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，若数轴上点 $A$ ， $B$ 表示的数分别为 $a$ ， $b$ ，点 $B$ 在点 $A$ 的右边，则点 $A$ ， $B$ 之间的距离用 $A B$ 表示， $A B = b - a$ ．
【综合运用】在数轴上点 $A$ ， $C$ 表示的数分别为 $a$ ， $c$ ，且 $a$ ， $c$ 满足 $|a + 4| + {(c - 2)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $a =$ ， $c =$ ， $A C =$ ．

(2)、若点 $A$ 向右运动 $m$ 个单位长度，此时点 $A$ 所对应的数是．（用含 $m$ 的式子表示）

(3)、如图，已知数轴上点 $B$ 对应的数为 $- 2$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在数轴上运动，若点 $A$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度向左运动，同时点 $B$ 和点 $C$ 分别以每秒 $1$ 个单位长度和 $5$ 个单位长度的速度向右运动，设运动时间为 $t$ 秒．问 $B C - A B$ 的值是否会随着 $t$ 的变化而变化？请通过计算说明．

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19、如图，长为 $50 cm$ ，宽为 $(4 a + 3) cm$ 的大长方形被分割为8小块，除阴影部分A，B外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为 $a cm$ ．

(1)、每个小长方形较长的一边长是 cm，阴影部分B的较短的一边长是 cm（用含a的式子表示）；

(2)、当 $a = 10$ 时，求阴影部分A，B的周长之和的值．

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20、一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．

(1)、图2给出的四种纸样中，正确的有．（写出所有正确答案）

(2)、根据图1中的数据（单位： $cm$ ），用含a，b的式子表示包装盒的侧面积．

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