相关试卷

1、如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形 $A B C D E F G H$ ，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形 $J K M N$ ，放在正八边形内部， $M N$ 与 $B A$ 重合，L为 $E F$ 的中点，连接 $L K$ ．将正方形 $J K M N$ 绕点A顺时针旋转 $45 °, J N$ 与 $H A$ 重合，此时 $L K$ 的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2、如果点 $P (1 - x, x - 3)$ 在平面直角坐标系的第三象限内，那么 $x$ 的取值范围在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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3、图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形． $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，其延长线与弦 $D C$ 的延长线交于点 $E$ ， $C E = C O$ ．若 $∠ A O D = 60 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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4、端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（　　）

A、 B、 C、 D、

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5、

(1)、特例感知：如图1，已知在Rt $△$ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；

(2)、探索发现：如图2，已知在Rt $△$ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；

(3)、类比迁移：如图3，已知在 $△$ ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．

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6、如图，在Rt $△$ ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．

(1)、如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；

(3)、点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 $\frac{C M}{A C}$ ＜ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，请直接写出 $\frac{N C}{P C}$ 的值（用含k的式子表示）．

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7、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

(1)、【探究发现】如图①，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC=∠ADC= $90^{o}$ .求证：AD+AB=AC；

(2)、【拓展迁移】如图②，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC+∠ADC= $180^{o}$ .
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD的面积。

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8、在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，求 $D E$ 的长．
解：如图2，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A C D^{'}$ ，连接 $E D^{'}$ ．
由旋转的特征得 $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ， $∠ B = ∠ A C D^{'}$ ， $A D = A D^{^{'}}$ ， $B D = C D^{'}$ ．
∵ $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ D A E = 45 °$ ，
∴ $∠ B A D + ∠ E A C = 45 °$ ．
∵ $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ，
∴ $∠ C A D^{'} + ∠ E A C = 45 °$ ，即 $∠ E A D^{'} = 45 °$ ．
∴ $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ．
在 $△ D A E$ 和 $△ D^{'} A E$ 中，
$A D = A D^{^{'}}$ ， $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ， $A E = A E$ ，
∴①▲ ．
∴ $D E = D^{^{'}} E$ ．
又∵ $∠ E C D^{'} = ∠ E C A + ∠ A C D^{'} = ∠ E C A + ∠ B = 90 °$ ，
∴在 $R t △ E C D^{'}$ 中，②▲ ．
∵ $C D^{'} = B D = 3$ ， $C E = 4$ ，
∴ $D E = D^{'} E =$ ③▲ ．

(1)、【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．

(2)、【知识迁移】
如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上，满足 $△ C E F$ 的周长等于正方形 $A B C D$ 的周长的一半，连结 $A E 、 A F$ ，分别与对角线 $B D$ 交于M、N两点．探究 $B M 、 M N 、 D N$ 的数量关系并证明．

(3)、【拓展应用】
如图4，在矩形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上，且 $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ ．探究 $B E 、 E F 、 D F$ 的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．

(4)、【问题再探】
如图5，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点D、E在边 $A C$ 上，且 $∠ D B E = 45 °$ ．设 $A D = x$ ， $C E = y$ ，求y与x的函数关系式．

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9、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 是锐角， $E$ 是 $B C$ 边上的动点，将射线 $A E$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、当 $A E ⊥ B C$ ， $∠ E A F = ∠ A B C$ 时，
①求证： $A E = A F$ ；
②连结 $B D$ ， $E F$ ，若 $\frac{E F}{B D} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{菱形 A B C D}}$ 的值；

(2)、当 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ 时，延长 $B C$ 交射线 $A F$ 于点 $M$ ，延长 $D C$ 交射线 $A E$ 于点 $N$ ，连结 $A C$ ， $M N$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，则当 $C E$ 为何值时， $Δ A M N$ 是等腰三角形.

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10、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．

(1)、当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；

(2)、在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中 $△$ BDF的面积最大值；

(3)、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．

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11、综合与实践：已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ．

(1)、特殊情形：如图1，当 $D E$ // $B C$ 时， $D B$ $E C$ ．（填“＞”“＜”或“＝”）；

(2)、发现结论：若将图1中的 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

(3)、拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点 $P$ 是等腰直角三角形 $A B C$ 内一点， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $B P = 1$ ， $A P = 2$ ， $C P = 3$ ，求 $∠ B P A$ 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将 $△ B A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转90°得到 $△ C A E$ ，连接 $P E$ ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出 $∠ B P A$ 的度数．

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12、如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．

(1)、如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；

(2)、将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH= $\sqrt{2}$ CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

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13、如图1，已知抛物线 $L : y = a {(x - 2)}^{2} - 1$ 与y轴交于点 $A (0, 1)$ ，顶点为 $C$ ，对称轴与 $x$ 轴相交于点 $F$ ，点 $A$ 关于对称轴的对称点为 $B$ ， $A C$ ， $B C$ 与 $x$ 轴分别交于点 $D$ ， $E$ ， $△ D C E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $△ D^{'} C E^{'}$ ，连接 $B E^{'}$ ， $A D^{'}$ ．

(1)、求抛物线 $L$ 的解析式；

(2)、在整个变化过程中，线段 $B E^{'}$ ， $A D^{'}$ 的数量和位置存在一种关系始终保持不变．
①试猜想并直接写出线段 $B E^{'}$ ， $A D^{'}$ 的数量和位置关系；
②请以旋转角小于 $90 °$ （如图1）为例证明你的猜想；

(3)、如图2，当点 $E^{'}$ 恰好落在 $A C$ 上时， $E^{'} D^{'}$ 与抛物线 $L$ 的交点为 $H$ ，连接 $H F$ ， $H C$ ．证明 $△ H F C$ 是等腰三角形．

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14、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C ， ∠ A C B$ 的平分线交于点E， $∠ B A C = 60 °$

(1)、求 $∠ B E C$ 的度数；

(2)、如图2，延长 $C E ， B E$ 分别交 $A B, A C$ 于M，N，在 $A E$ 的延长线取一点D，使 $E D = B D$ ， $A D$ 交 $B C$ 于点F．
①当 $A D = 9 ， A F = 5$ 时，求 $B D$ 的长；
②证明： $B C = B M + C N$ ．

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15、如图，已知C，D是以 $A B$ 为直径的半圆O上两点．

(1)、尺规作图：在半圆O上求作一点E，使 $C E = D E$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，已知 $A B = 2 ， C O ⊥ A B ， ∠ B A D = \frac{1}{2} ∠ C A D$ ，求 $B D \cdot D E$ 的值．

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16、某学校要招聘一名数学教师，根据需要，从学历、笔试、面试和试讲四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行测试，测试成绩如表所示：
项目
应聘者成绩（单位：分）
甲
乙
丙
学历
$10$
$9$
$9$
笔试
$9$
$6$
$7$
面试
$7$
$8$
$8$
试讲
$6$
$8$
$9$

(1)、若将学历、笔试、面试和试讲四项得分依次按 $1 : 1 : 1 : 1$ 的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，谁将被录用？

(2)、若这个学校看重笔试成绩（其他三项比例相同），请你帮学校设计一个四项得分比例，并以此为依据确定录用者，谁将被录用？

(3)、若你是这次招聘决策者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分比例，并以此为依据确定录用者，并说一说这样设计比例的理由．

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17、阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
$①$ $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2 = (x^{3} + 2 x) + (x^{2} + 2)$
$= x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2)$
$= (x^{2} + 2) (x + 1)$
$②$ $x^{2} - 9 + 4 x y + 4 y^{2} = (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}) - 9$
$= {(x + 2 y)}^{2} - 9$
$= (x + 2 y + 3) (x + 2 y - 3)$
$③$ $x^{2} + 8 x + y^{2} + 8 y + 2 x y + 16 = (x^{2} + y^{2} + 2 x y) + (8 x + 8 y) + 16$
$= {(x + y)}^{2} + 8 (x + y) + 16$
$= {(x + y + 4)}^{2}$
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：

(1)、分解因式： $x^{5} - x^{3} + 3 x^{2} - 3$ ；

(2)、分解因式： $a^{2} + 2 a + 1 + b^{2} - 2 b - 2 a b$ ．

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18、如图，直线 $y = - x + 5$ 与坐标轴和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，已知点 $C (1, 4)$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、证明： $△ A O C ≌ △ B O D$ ．

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19、先化简，再求值：
${(3 x + y)}^{2} + (x + y) (x - y) - 10 x^{2}$ ，其中 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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20、学校组织了初三年级“数学解题能力”大赛．对收到的部分学生成绩分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；并绘制成不完整的统计图．请你根据统计图中所给的信息解答下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、若该年级有800名学生，请以收到的学生成绩统计情况估计该年级大约有______名学生在这次答题的成绩为良好．

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项目	应聘者成绩（单位：分）
项目	甲	乙	丙
学历	$10$	$9$	$9$
笔试	$9$	$6$	$7$
面试	$7$	$8$	$8$
试讲	$6$	$8$	$9$