相关试卷

1、如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ 1 = ∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $60 °$ C、 $80 °$ D、 $100 °$

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2、小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A B < B C$ ， $∠ B = 66 °$ ．用直尺和圆规作 $∠ E C B = 66 °$ ， E是边 $A D$ 上一点．
小红：如图2，以点C为圆心， $C D$ 长为半径作弧，交边 $A D$ 于点E，连接 $C E$ ，则 $∠ E C B = 66 °$ ．
小明：如图3，以点D为圆心， $C D$ 长为半径作弧，交边 $A D$ 于点E，连接 $C E$ ，则 $∠ E C B = 66 °$ ．

(1)、填空：判断他们的作图方法是否正确（填“正确”或“错误”）．
①小红的作法______；
②小明的作法______．

(2)、请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 3$ ， $A D = B D = 8$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，若 $∠ A D E = 2 ∠ C B D$ ，且 $B D$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $B E$ 的长为．

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4、如图，在正方形纸片 $A B C D$ 中，点M，N分别是 $B C ， A D$ 上的点，将该正方形纸片沿直线 $M N$ 折叠，使点B落在 $C D$ 的中点E处．若 $A B = 4$ ，则 $△ C E M$ 的面积是．

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5、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 切 $⊙ O$ 于点B， $A C$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $O D$ ．若 $∠ B O D = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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6、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为 $\frac{1}{2}$ ．点 $P (3, 2)$ 在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，连接 $O P$ 并延长交边 $A^{'} C^{'}$ 于点 $P^{'}$ ，则点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(6, 6)$ B、 $(4, 6)$ C、 $(4, 4)$ D、 $(6, 4)$

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7、哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．有4张卡片，上面分别写着质数2，3，5，7，从中随机抽取2张，这两张卡片上的数字之和是偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、如图， $A C$ ， $B D$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线，则下列结论错误的是（）

A、 $A B = A D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A C = B D$ D、 $∠ B A C = ∠ D A C$

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9、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $a^{3} \div a^{2} = a$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{9}$

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10、劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼．

(1)、【操作发现】
小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________；
A．三角形的稳定性 B.等腰三角形是轴对称图形 C.三角形内角和等于 $180 °$

(2)、【思考操作】
如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(3)、【拓展延伸】
如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据；
如图④，小星最后拿到一块凸四边形 $A B C D$ 铁皮．他能否在四边形内部取一点 $P$ ，使切法满足 $P A = A B ， P B = B C ， P C = C D ， P D = D A$ ．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程．

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11、如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分， $O A, B C$ 垂直于地面 $O C$ ，且 $A O = B C = 2 m, O C = 8 m$ ，以 $O C$ 所在的直线为 $x$ 轴， $O A$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式 $y = a x^{2} + x + c$ （ $a, c$ 为常数， $a \neq 0$ ）．

(1)、求顶棚抛物线的函数关系式；

(2)、小星想驾驶一辆高为 $3 m$ ，宽为 $2 m$ 的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？

(3)、如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚 $A, B$ 之间抛物线上有两个点 $D$ 和 $E$ （不与点 $A, B$ 重合）．它们的横坐标分别为 $t, 2 t$ ，连接 $A D$ ， $A E$ ．设点 $A$ 与点 $D$ 之间部分（含点 $A$ 和点 $D$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{1}$ ，点 $A$ 与点 $E$ 之间部分（含点 $A$ 和点 $E$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{2}$ ，当 $h_{2} - h_{1} = \frac{1}{2} t$ 时，求出 $t$ 的值．

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12、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O, ∠ A B C = 45 °$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $B A$ 的延长线于 $E$ ，连接 $O A$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A C ， O C$ ．

(1)、求证 $∠ A C E = ∠ A B C$ ；

(2)、探究 $A C ， B C$ 与 $C D$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、若 $tan ∠ D C O = \frac{1}{3} ， C E = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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13、如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案：
任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）；
任务二：请在图中画出方案示意图；
任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）．
测量数据：①小星与旗杆的距离为 $18 m$ ， ②小星到镜子的距离为 $2 m$ ， ③镜子到旗杆的距离为 $16 m$ ， ④同一时刻，小星的影长为 $2 m$ ，旗杆的影长为 $16 m$ ， ⑤小星的身高为 $1.7 m$ （眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长 $3.1 m$ ， ⑦小星与标杆的距离为 $2 m$ ．

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14、如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人．

(1)、若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数；

(2)、假设每个甲型哨所的人数为 $m$ ，请用含 $m$ 的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的 $m$ 的值．

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15、如图，将等腰直角三角形 $A B C$ 的一条直角边放在 $x$ 轴上，点 $A (- 1 ， 0) ， C (3 ， 0)$ ，斜边 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于点 $D (1 ， n)$ ．

(1)、求 $n ， k$ 的值；

(2)、若在该反比例函数上有一点 $G$ ，过 $G$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交 $B C ， A B$ 于点 $E ， F$ ．当 $G E = G F$ 时，求 $G$ 点的坐标．

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16、如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作 $A E ⊥ B C$ 于 $E ， A F ⊥ C D$ 于 $F$ ，且 $A E = A F$ ．

(1)、判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $E$ 为 $B C$ 的中点，连接 $E F ， A E = 4$ ，求 $△ A E F$ 的面积．

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17、今年春节档期全国总观影人次超 $1.6$ 亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题：
两部影片观影人次折线统计图

(1)、甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人．

(2)、下列说法正确的是______（填序号）
①甲影片的观影人次逐日增加；
②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大；
③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定；
④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次．

(3)、根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议．

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18、（1）计算：

2^{2} + |- 2| + {(π - 3)}^{0}

；

（2）下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{2 x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{x + 3} = \frac{2 x - 3 - (2 x + 1)}{x + 3}$ 第一步

$= \frac{2 x - 3 - 2 x + 1}{x + 3}$ 第二步

$= \frac{- 2}{x + 3}$ 第三步

$= - \frac{2}{x + 3}$ 第四步

$①$ 第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________；

$②$ 请写出化简该分式的正确过程．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $A B = 1$ ． $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，将 $D E$ 沿 $D A$ 方向平移到 $A F$ ，连接 $B F$ ，则 $B F$ 的最小值为．

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20、关于 $x$ 的一元二次方程 $(x + 1) (x - 3) = m$ 有两个不相等的实根，则 $m$ 的取值范围是．

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