相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a^{2} x (a \neq 0)$ ．

(1)、求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

(2)、 $M (x_{1}, y_{1})$ 和 $N (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线上的两点，若对于 $1 - a \leq x_{1} \leq 2 - a$ ， $x_{2} = 4 a$ ，还有 $y_{1} < y_{2}$ ，求a的取值范围．

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2、某型号清洁机器人在执行任务时，其“清洁效率” $C (m^{2} / min)$ 和“系统功率” $P (W)$ 会随移动速度 $v (m / s)$ 发生变化．技术人员在标准测试环境下记录了实验数据：
移动速度 $v (m / s)$
$0.3$
$0.6$
$0.9$
$1.2$
$1.5$
清洁效率 $C (m^{2} / min)$
$2.8$
$6.7$
$9.0$
$9.8$
$10.0$
系统功率 $P (W)$
10
16
22
28
34
【模型说明】
Ⅰ．功率模型：系统功率P与速度v之间近似满足一次函数关系．
Ⅱ．效率模型：清洁效率理论上等于速度与清扫宽度的乘积，但实测数据显示增长趋势逐渐放缓，这是因为在较高速度下，单次清扫的清洁度会下降（例如，有更多灰尘未被吸入），导致“有效清洁面积”的增长速度低于理论值．本实验数据反映的是综合了覆盖速度与清洁效果的“有效清洁效率”

(1)、分析数据，可以发现，可以用函数刻画清洁效率C与移动速度v之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；

(2)、若要求系统功率P不超过 $26 W$ ，则移动速度v的最大允许值为_______ $m / s$ ；

(3)、为优化机器人性能，技术人员定义综合性能指标： $t = \frac{C}{P}$ （单位功耗创造的清洁效率）．
①满足 $t \geq 0.35$ 的速度范围约为_______ $\leq v \leq$ _______；（结果保留一位小数）
②在此速度范围内，清洁效率C的最小值约为_______ $m^{2} / min$ ．（结果保留一位小数）

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3、如图，在三角形 $A B C$ 中，点E为 $A B$ 边上一点，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 与直线 $B C$ 相切于点D，点D在线段 $B C$ 上，连接 $A D$ ，若 $A C = A D$ ．

(1)、求证： $∠ C A D = 2 ∠ D A B$ ；

(2)、若 $B E = 2$ ， $sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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4、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 0)$ ；当 $x = 1$ 时，该函数有最小值为 $- 4$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、在坐标系中直接画出该二次函数图象和一次函数 $y = x - 3$ 的图象；

(3)、直线 $y = m$ 与抛物线的交点为 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，和直线 $y = x - 3$ 的交点为 $C (x_{3}, y_{3})$ ，当 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ 时，直接写出 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知线段 $A B$ ，其中点 $A (- 1, 2)$ ，点 $B (- 3, 1)$ ；

(1)、在图中画出线段 $A B$ 关于原点中心对称的图形 $A^{'} B^{'}$ ，并标注字母；

(2)、点 $A^{'}$ 的坐标为_______；点 $B^{'}$ 的坐标为_______；

(3)、 $sin ∠ A^{'} O B^{'} =$ _______．

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6、已知 $2 a^{2} - 3 a + 7 = 0$ ，求代数式 ${(a - 4)}^{2} + a (a + 5)$ 的值．

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7、解方程： $x^{2} + 4 x = 7$ ．

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8、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + 2 cos 30 ° - ∣ 1 - \sqrt{3} ∣ + \sqrt{12}$ ．

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9、桌子上从左至右依次放着四件物品，分别记为A，B，C，D．现将这四件物品按以下步骤操作：
第一步：A与左边的物品交换位置；
第二步：B与右边的物品交换位置；
第三步：C与左边的物品交换位置；
第四步：D与右边的物品交换位置．
在操作过程中，若物品左边或右边无其它物品则不需要交换
（1）若这四件物品初始摆放位置从左到右是“A，B，C，D”，完成步操作后，从左到右的物品顺序是；
（2）若完成四个步骤后，C的位置与初始位置完全相同，且D最终在最右侧，那么这四件物品的初始摆放位置从左到右依次是．（填一种即可）

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10、如图，A，B为圆O上两点， $∠ A O B = 60 °$ ， C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为 $A C$ 的中点．若圆O的半径为2，则线段 $B D$ 的长的最大值为．

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11、如图，小华同学用自制的直角三角形纸板 $D E F$ 测量树的高度 $A B$ ，他调整自己的位置，设法使斜边 $D F$ 保持水平，并且边 $D E$ 与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边 $D E = 20 cm$ ， $E F = 10 cm$ ，得边 $D F$ 离地面的高度 $A C = 1.6 m$ ， $C D = 8 m$ ，则树高 $A B$ 是 $m$ ．

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12、关于x的一元二次方程 $- x^{2} + 3 x = m$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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13、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $tan A = 3$ ，则 $cos A$ 的值为．

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14、关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + x + k^{2} + 2 k - 3 = 0$ 有一个根为0，则k的值为．

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15、抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的顶点坐标为．

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16、对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，定义其图象上点 $(x, y)$ 的“点值”为 $t = x + y$ ．已知该抛物线过点 $(0, 2)$ ，顶点的“点值”为 $- 4$ ，且与x轴的两交点的“点值”之和为4，对于上述二次函数，下列结论中正确的有（）
① $b = - 4$ ；
②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧；
③其图象上有两个点的“点值”为0；
④存在实数 $t_{0}$ ，使得函数图象上有且仅有一个点以 $t_{0}$ 为“点值”．

A、①③ B、②④ C、②③ D、②③④

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17、2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的 $D e e p S e e k$ ，豆包， $K i m i$ 三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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18、二次函数 $y = x^{2}$ 的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（　　）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} - 2$

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19、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，半径 $O C ⊥ A B$ 于点D．若 $A B = 24$ ， $O C = 13$ ，则 $O D$ 的长是（）

A、4 B、5 C、8 D、 $\frac{13}{2}$

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20、以下四个特殊三角函数值中，最大的是（）

A、 $sin 30 °$ B、 $sin 45 °$ C、 $cos 60 °$ D、 $tan 45 °$

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移动速度 $v (m / s)$	$0.3$	$0.6$	$0.9$	$1.2$	$1.5$
清洁效率 $C (m^{2} / min)$	$2.8$	$6.7$	$9.0$	$9.8$	$10.0$
系统功率 $P (W)$	10	16	22	28	34