相关试卷

1、小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点， $∠ B A D = 65 °$ ， $∠ D A C = 50 °$ ， $A D = 2$ ，求 $A C$ 的长．
【探索发现】
小明的思路是：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $C E$ ，构造全等三角形；
小丽的思路是：过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，构造全等三角形．
请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求 $A C$ 的长．
【类比应用】
如图②，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $O$ 是 $B D$ 的中点， $A B ⊥ A C$ ．
若 $∠ C A D = 45 °$ ， $∠ A D C = 67.5 °$ ， $A O = 2$ ，则 $A C$ 的长为______．

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2、为增强学生安全意识，某校举行了一次全校学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取 $n$ 名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（ $D : 60 \leq x < 70$ ； $C : 70 \leq x < 80$ ； $B : 80 \leq x < 90$ ； $A : 90 \leq x \leq 100$ ），并根据分析结果绘制了如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、补全频数分布直方图，并在直方图上方注明人数；

(3)、求扇形统计图中 $C$ 等级所占的百分比；

(4)、求扇形统计图中 $B$ 等级所对应扇形圆心角的度数．

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3、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x + m}{x - 2} = 3$ ．

(1)、求方程的解（用含 $m$ 的代数式表示）；

(2)、若这个方程的解是正数，求 $m$ 的取值范围．

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4、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $B C = A D$ ， $A C = B D$ ．求证： $A E = B E$ ．

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5、先化简，再求值： $(a - 2 b) (a + 2 b) + {(a + 2 b)}^{2} + 3 a^{2} b^{2} \div (- a b)$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ， $b = - 1$ ．

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6、计算： $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$ ．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ． $M$ 、 $N$ 分别是边 $A C$ 、 $B C$ 上的动点，且 $∠ M D N = 90 °$ ，连接 $M N$ ．给出下面四个结论：① $A M = C N$ ；② $△ D M N$ 是等腰直角三角形；③ $A M^{2} + B N^{2} = M N^{2}$ ；④ $N M$ 平分 $∠ C N D$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，在 $C A$ 、 $C B$ 上分别截取 $C D$ 、 $C E$ ，使 $C D = C E$ ，分别以点 $D$ 、 $E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A C B$ 内相交于点 $F$ ，作射线 $C F$ ，交 $A B$ 于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ B C$ 于点 $N$ ．若 $B M = C M = 5$ ， $B C = 8$ ，则点 $M$ 到 $A C$ 的距离为．

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9、计算： $2^{- 2} + {(\sqrt{5})}^{0} =$ ．

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10、分解因式： $x^{2} - 5 x + 6 =$ ．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ．若 $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{5}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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12、如图， $B D$ 是等边 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的高，以点D为圆心， $D B$ 长为半径作弧交 $B C$ 的延长线于点E，则 $∠ E D C =$ （）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ 交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ．若 $D E = F E$ ， $A B = 4$ ， $C F = 3$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、0.5 B、1 C、1.5 D、2

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14、下列计算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{4} = 2 a^{4}$ B、 $a^{2} b \cdot a^{3} b^{2} = a^{5} b^{2}$ C、 ${(- 3 a^{2} b)}^{2} = 9 a^{4} b^{2}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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15、十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如下表是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法．将十进制数1000转化为八进制数为

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16、游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式

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17、如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $B A$ 延长线上的一点， $A F = \frac{1}{2} A B$ ．
$(1)$ 求证 $△ A B E ≅ △ A D F$ ；
$(2)$ 阅读下列材料：
如图 $2$ ，把 $△ A B C$ 沿直线 $B C$ 平行移动线段 $B C$ 的长度，可以变到 $△ E C D$ 的位置；
如图 $3$ ，以 $B C$ 为轴把 $△ A B C$ 翻折 $180^{\circ}$ ，可以变到 $△ D B C$ 的位置；
如图 $4$ ，以点 $A$ 为中心把 $△ A B C$ 旋转 $180^{\circ}$ ，可以变到 $△ A E D$ 的位置．
像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
回答下列问题：
①在图 $1$ 中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法使 $△ A B E$ 变到 $△ A D F$ 的位置，
答：________．
②指出图 $1$ 中，线段 $B E$ 与 $D F$ 之间的关系．
答：________．

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18、如图，在扇形 $A O B$ 中，点C，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，将 $\overset{⌢}{C D}$ 沿弦 $C D$ 折叠后恰好与 $O A$ ， $O B$ 相切于点E，F．已知 $∠ A O B = 120 °$ ， $O A = 6$ ，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为；折痕 $C D$ 的长为．

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19、如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (3, 2)$ ， $B (6, 1)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $3$ ，把 $△ O A B$ 放大，则点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标是．

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20、“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　）

A、1.8 B、3.6 C、6.8 D、7.2

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