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相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A (- 2,0)$ ， $B (4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $1$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $C M$ ， $P B$ ， $P C . △ P C B$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ B C M$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，点 $Q$ 在抛物线上，直线 $M Q$ 与直线 $B C$ 交于点 $H$ ，当 $△ H M N$ 与 $△ B C M$ 相似时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

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2、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，连接 $E A$ ，将线段 $E A$ 绕点 $E$ 逆时针旋转，使点 $A$ 落在射线 $C B$ 上的点 $F$ 处，连接 $E C$ ．

(1)、【问题引入】
请你在图 $1$ 或图 $2$ 中证明 $E F = E C ($ 选择一种情况即可 $)$ ；

(2)、【探索发现】
在 $(1)$ 中你选择的图形上继续探索：延长 $F E$ 交直线 $C D$ 于点 $M .$ 将图形补充完整，猜想线段 $D M$ 和线段 $B F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图 $3$ ， $A B = 3$ ，延长 $A E$ 至点 $N$ ，使 $N E = A E$ ，连接 $D N .$ 当 $△ A D N$ 的周长最小时，请你直接写出线段 $D E$ 的长．

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3、某超市以每件 $10$ 元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于 $19$ 元 $.$ 经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 $y ($ 件 $)$ 与销售单价 $x ($ 元 $)$ 之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价 $x /$ 元
$\dots$
$12$
$13$
$14$
$\dots$
每天销售数量 $y /$ 件
$\dots$
$36$
$34$
$32$
$\dots$

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若该超市每天销售这种文具获利 $192$ 元，则销售单价为多少元？

(3)、设销售这种文具每天获利 $w ($ 元 $)$ ，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

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4、如图，以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ，点 $F$ 在 $B C$ 上， $∠ C D F = ∠ A B D$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\overset{⏜}{B E} = \overset{⏜}{D E}$ ， $t a n ∠ C D F = \frac{4}{3}$ ， $B C = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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5、如图， $C D$ 是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路 $l$ 上由南向北行驶，在 $A$ 处测得桥头 $C$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，继续行驶 $500$ 米后到达 $B$ 处，测得桥头 $D$ 在北偏东 $45 °$ 方向上 $.$ 已知大桥 $C D$ 长 $300$ 米，求桥头 $C$ 到公路 $l$ 的距离 $. ($ 结果保留根号 $)$

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6、如图

1

，在▱

A B C D

中，求作菱形

E F G H

，使其面积等于▱

A B C D

的面积的一半，且点

E

，

F

，

G

，

H

分别在边

A D

，

A B

，

B C

，

C D

上．

小明的作法

$①$ 如图 $2$ ，连接 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ．

$②$ 过点 $O$ 作直线 $l / / A D$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $F$ ， $H$ ．

$③$ 过点 $O$ 作 $l$ 的垂线，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $G$ ．

$④$ 连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ，则四边形 $E F G H$ 为所求作的菱形．

(1)、小明所作的四边形

E F G H

是菱形吗？为什么？

(2)、四边形

E F G H

的面积等于▱

A B C D

的面积的一半吗？请说明理由．

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7、先化简，再求值： $(\frac{x + 2}{x - 2} + \frac{x - x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x - 2}$ ，其中 $x = 3$ ．

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8、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，点 $M$ 是边 $A D$ 上一点 $($ 点 $M$ 不与点 $A$ ， $D$ 重合 $)$ ，连接 $C M$ ，将 $△ C D M$ 沿 $C M$ 翻折得到 $△ C N M$ ，连接 $A N$ ， $D N .$ 当 $△ A N D$ 为等腰三角形时， $D M$ 的长为．

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9、已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 2 a + 1 \\ x + 2 y = a - 1 \end{array}$ 的解满足 $x - y = 4$ ，则 $a$ 的值为．

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10、如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴上任意一点，连接 $P A$ ， $P B .$ 若 $△ A B P$ 的面积等于 $3$ ，则 $k$ 的值为．

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11、某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中一人参加今年 $5$ 月份举办的教育系统文艺展演独唱大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是 $88.5$ 分，方差分别是 $s_{甲}^{2} = 1.5$ ， $s_{乙}^{2} = 2.6$ ， $s_{丙}^{2} = 1.7$ ， $s_{丁}^{2} = 2.8$ ，则这四名同学独唱成绩最稳定的是．

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12、中国汽车工业协会 $2023$ 年 $4$ 月 $11$ 日发布统计数据显示：今年 $1$ 至 $3$ 月，我国新能源汽车累计出口 $248000$ 辆，显示出我国新能源汽车产业发展势头正劲 $.$ 将数据 $248000$ 用科学记数法表示为．

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13、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 2 x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是( )

A、 $k > \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 1$ B、 $k > \frac{1}{2}$ C、 $k \geq \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 1$ D、 $k \geq \frac{1}{2}$

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14、如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (2,2)$ ， $B (4,1)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $2$ ，把 $△ O A B$ 放大，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标是( )

A、 $(1,1)$ B、 $(4,4)$ 或 $(8,2)$ C、 $(4,4)$ D、 $(4,4)$ 或 $(- 4, - 4)$

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15、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ C = 120 °$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，则 $\overset{⏜}{B D}$ 的长为( )

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $6 π$

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16、已知直线 $a / / b$ ，将一块含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 按如图所示的方式放置，其中 $∠ A = 30 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为( )

A、 $30 °$ B、 $25 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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17、下列运算正确的是( )

A、 $5 a^{2} - 4 a^{2} = 1$ B、 $a^{7} \div a^{4} = a^{3}$ C、 $(a^{3})^{2} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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18、下列图形是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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19、

(1)、问题提出
如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为；

(2)、问题解决
如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．

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20、某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是y $= - \frac{1}{3}$ x²+bx+c和y $= - \frac{1}{3}$ x²+bx+c'；

(1)、求A喷头喷出的水流的最大高度；

(2)、一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？

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销售单价 $x /$ 元	$\dots$	$12$	$13$	$14$	$\dots$
每天销售数量 $y /$ 件	$\dots$	$36$	$34$	$32$	$\dots$