相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $L : y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 1$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标；

(2)、将抛物线 $L$ 向右平移1个单位，得到新抛物线 $L^{'}$ ，点 $E$ 在坐标平面内，在新抛物线 $L^{'}$ 的对称轴 $l$ 上是否存在点 $D$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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2、综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A$ 点的坐标为 $(- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，

(1)、求抛物线解析式及顶点 $D$ 坐标；

(2)、点 $E$ 为抛物线上一点，且 $S_{△ A O E} = S_{△ B O C}$ ，则点 $E$ 的坐标为；

(3)、点 $F$ 为线段 $B C$ 上任意一点，过点 $F$ 作 $F M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，直线 $F M$ 交抛物线于点 $N$ ，求线段 $F N$ 的最大值；

(4)、点 $P$ 是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点 $Q$ ，使以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图，抛物线与x轴交于 $A (- 2, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 4)$ ，点P是抛物线上的动点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当点P在直线 $B C$ 的上方运动时，连接 $A P$ ，交直线 $B C$ 于点D ，交y轴于点E ．
①若 $△ A B D$ 的面积是 $△ P B D$ 面积的3倍，求点P的坐标；
②当 $C D = C E$ 时，求 $C E$ 的长．

(3)、过点P作 $P F ∥ y$ 轴交直线 $B C$ 于点F ，在y轴上是否存在点Q ，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 过点 $(1, 3)$ ，且交 $x$ 轴于点 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $B C$ 于点 $E$ ，求 $△ P D E$ 周长的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在(2)中 $Δ P D E$ 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移 $\sqrt{5}$ 个单位长度，点 $M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点 $N$ ，使得以点 $A$ ， $P$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标．

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5、如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m (m > 0)$ 与y轴交于A点，其顶点为D ．直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2 m$ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线 $A D$ 相交于E点．

(1)、求A、D的坐标（用m的代数式表示）；

(2)、将 $Δ A C E$ 沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；

(3)、抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m (m > 0)$ 上是否存在一点P ，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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6、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 5)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、①如图1，若点 $P$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；
②如图2，若点 $Q$ 为抛物线对称轴上一个动点，当 $Q B = Q C$ 时，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上一点，点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $M$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ． $A C = \sqrt{10}$ ， $O B = O C = 3 O A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使 $Δ P C B$ 的面积最大，求出点P的坐标；

(3)、在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P ， B ， M ， Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与y轴相交于点C ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在上点P ，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴相交于A ， B两点，与y轴相交于点C ，直线 $y = k x + n (k \neq 0)$ 经过B ， C两点，已知 $A (1 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ ，且 $B C = 5$ ．

(1)、试求出点B的坐标．

(2)、分别求出直线 $B C$ 和抛物线的解析式．

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以 $B ， C ， P$ 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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10、如图是二次函数 $y = {(x + m)}^{2} + k$ 的图象，其顶点坐标为 $M (1, - 4)$ ．

(1)、求出图象与x轴的交点A ， B的坐标；

(2)、在二次函数的图象上是否存在点P ，使 $S_{△ P A B} = S_{△ M A B}$ ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、在y轴上存在一点Q ，使得 $Δ Q M B$ 周长最小，求此时构成的 $Δ Q M B$ 的面积．

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11、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (1, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ 两点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 $△ Q A C$ 的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使 $Δ P B C$ 的面积最大？若存在，求出 $△ P B C$ 面积的最大值．若没有，请说明理由．

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12、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，交y轴于点C ，且 $O C = 2 O B$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点E是该抛物线对称轴上一点，且 $Δ E B C$ 的周长最小，求点E的坐标；

(3)、直线 $A C$ 下方的抛物线上是否存在一点F ，使得 $Δ F A C$ 的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标．

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13、如图，一次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ 、 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 为抛物线上一动点，在直线 $A B$ 上方是否存在点 $P$ 使 $Δ P A B$ 的面积最大？若存在，请求出 $Δ P A B$ 面积的最大值及点 $P$ 的坐标，请说明理由．

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14、如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{10}{3} x + c$ 经过 $B$ 、 $C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，点 $E$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，当 $△ B E C$ 面积最大时，请求出点 $E$ 的坐标；

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15、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C ，其中A点的坐标是 $(1, 0)$ ， C点坐标是 $(4, 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 $A C$ 的下方，试求 $△ A C E$ 的最大面积及E点的坐标．

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16、2022年第一季度我省 $G D P$ 总值约为10000亿元，第三季度的 $G D P$ 总值约为11025亿元．

(1)、假定第二季度、第三季度我省 $G D P$ 总值的增长率相同，求这个增长率；

(2)、若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的 $G D P$ 总值能否突破12000亿元？并说明理由．

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17、小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．

(1)、求该抛物线的表达式．

(2)、在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？

(3)、小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式 $y = - x^{2} + (a + 1) x + 1$ ．当 $1 \leq x \leq 2$ 时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．

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18、小明和小亮玩打水仗，两人相距 $7$ 米，两人身高都是 $1.5$ 米．以水平线为 $x$ 轴，小明所站立线为 $y$ 轴建立如图所示直角坐标系，点 $A (0, 1.5)$ 是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线 $C_{1} : y = a {(x - 3)}^{2} + 2.5$ ，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为 $B (7, 1.8)$ ，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线 $C_{2} : y = m x^{2} + b x + c$ ，且其过点 $(4, 3.6)$ ．

(1)、请通过计算说明小明能否喷到小亮；

(2)、如果 $(4, 3.6)$ 是抛物线 $C_{2}$ 的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．

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19、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

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20、掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位： $m$ ）可近似看作水平距离x（单位： $m$ ）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当 $x = 2$ 与 $x = 6$ 时实心球在同一高度，当 $x = 4$ 时 $y = 3.6$ ，当 $x = 5$ 时 $y = 3.5$ ，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 $m$ ．

(2)、求满足条件的抛物线的解析式．

(3)、根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10 $m$ 时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．

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