相关试卷

1、【知识技能】
材料 $1$ ：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料 $2$ ：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ， ∴ $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
【数学理解】
（1）一元二次方程 $4 x^{2} - x - 2 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ _____， $x_{1} x_{2} =$ ______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．
（3）已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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2、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C (0, 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式和对称轴；

(2)、利用图象回答：当 $x$ 取何值时， $y \leq 0$ ．

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3、如图，在平面直角坐标系中，△ $A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 0)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 2, 2)$ ．

(1)、直接写出点 $B$ 关于 $x$ 轴对称的点 $B^{'}$ 的坐标：_____；

(2)、平移△ $A B C$ ，使平移后点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，请画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、求线段 $O A_{1}$ 的长度．

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4、用适当的方法解方程：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} - 36 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ ．

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5、要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为．

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6、二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 6$ 的最小值为．

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7、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A B D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后得到 $△ A C E$ ，那么线段 $A E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $6$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8、中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为 $x (x > 0)$ ，则（）

A、 $10 (1 + 2 x) = 14.5$ B、 $14.5 {(1 - x)}^{2} = 10$ C、 $10 x^{2} = 14.5$ D、 $10 {(1 + x)}^{2} = 14.5$

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9、将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = \pm 2$ D、没有实数根

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11、2024年4月，中国航天成功发射神舟十八号飞船．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）

A、中国探火 B、中国火箭 C、中国探月 D、中国行星探测

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12、综合实践
【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．
如图1，第一次拉成折线 $B A C$ ，且 $A B = A C$ ，第二次拉成折线 $E A F$ ，探究绳子两个端点之间距离的变化情况．
周老师和同学们在探究时，有如下交流：
小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即 $E F \neq B C$ ．
小聪：我发现问题可抽象为：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，在 $A C$ 和 $A B$ 延长线上分别取点 $F$ ， $E$ ，若 $C F = B E$ ，则 $E F > B C$ ．
小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点 $D$ 是 $E F$ 中点．
周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
结合上述师生的交流完成下面任务：
【探究论证】
（1）如图2，请你证明小颖发现的结论；
（2）如图2，请你证明小聪发现的结论；
【创新应用】
（3）如图3， $△ A B C$ 中， $∠ A = 105 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 上，若 $A D = B E$ ，求 $D F + E F$ 的最小值．

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13、（1）观察下列命题完成填空：
①若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{4}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ ，
②若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{6}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ ，
③若 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = \frac{8}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{3}{b}$ ，
④若 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = \frac{10}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{1}{a} = \frac{4}{b}$ ，
…
按规律猜想：若 $\frac{1}{a} + \frac{2025}{b} = \frac{()}{a + b}$ （括号内为），则有 $a = b$ 或______；
（2）若把（1）中命题改为：“若 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} = \frac{k}{a + b}$ ，则有 $a = b$ 或 $\frac{m}{a} = \frac{n}{b}$ ”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立；
（3）对于（2）中的m，n，k $（ m n k \neq 0 ）$ ，若满足 $m^{2} = n^{2} + k^{2}$ ，求 $\frac{m}{n}$ 的值．

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14、对于任意非负整数 $p$ ， $a$ ， $b$ 若满足： $p = a^{2} - b^{2}$ ，则称 $p$ 为 $a$ 与 $b$ 的“2次幂差数”．

(1)、下列两个数：① $8$ ， ② $6$ ，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)；

(2)、若 $p$ 为 $a$ 与 $b$ 的“2次幂差数”，且 $b$ ， $a$ 是两个连续的正整数，证明： $p$ 为奇数；

(3)、若 $p$ 为 $a$ 与 $b$ 的“2次幂差数”，且 $b = k - 3$ ， $p = - 2 k + 71$ ，求 $a$ 的最小值．

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15、如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线）

(1)、在图1中，画出 $A B$ 边上的高 $C D$ ；

(2)、在图2中，画出 $A C$ 边上的中线 $B E$ ；

(3)、在图3中，画 $△ A B F$ ，使 $△ A B F$ 与 $△ A B C$ 全等（F不与C重合，画出一个即可）．

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16、为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级 $1$ 条乙类生产线需多投入 $5$ 万元，用 $120$ 万元升级甲类生产线的条数和用 $100$ 万元升级乙类生产线的条数相同，设升级 $1$ 条乙类生产线需投入 $x$ 万元．

(1)、升级 $1$ 条甲类生产线需投入______万元，用 $120$ 万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含 $x$ 的式子表示)

(2)、升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？

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17、如图，点A，D，B，E在一条直线上， $A C = D F$ ， $A D = B E$ ， $∠ A = ∠ E D F$ ，求证： $∠ C = ∠ F$ ．

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18、先化简，再求值： $(1 + \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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19、化简：

(1)、 $(a - b) (a + 2 b)$ ；

(2)、 $(2 x^{3} y^{2} - 6 x^{2} y) \div 2 x y$ ．

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20、如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $B E ⊥ A C$ ， E为垂足，点D在 $B C$ 上，且 $A B = A D$ ，若 $C E = 3 C D$ ， $A E = 2$ ，则 $B C$ 的长为．

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