相关试卷

1、用序号将下列各数填入相应的大括号内
① $|- \frac{3}{4}|$ ， ② $\sqrt{3}$ ， ③ $\frac{22}{7}$ ， ④ $- 12$ ， ⑤ $- \sqrt{4}$ ， ⑥ $- \frac{π}{4}$
正分数{_____________________________．．．．．．}；
负整数{_____________________________．．．．．．}；
无理数{_____________________________．．．．．．}．

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2、如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是 $- 12$ ， $10$ ，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线 $C B$ 上且到点B的距离为4，则C点表示的数是．

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3、浙教版初中七年级数学课本长度约为 $25.8 cm$ ，该近似数 $25.8$ 精确到位．

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4、如图，长方形 $A B C D$ 的边长 $A B = D C = x$ ， $A D = B C = y$ ．在长方形 $A B C D$ 内，将一张边长为a和两张边长为b（ $a > b$ ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为L，若要知道L的值，只要测量图中哪条线段的长（）

A、a B、b C、x D、y

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5、下列说法正确的是（）

A、正整数、负整数统称整数 B、若 $|a| + a = 0$ ，则a是负数或0 C、数轴上的点与有理数一一对应 D、 $2 π x^{2}$ 的系数是2

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6、下列去括号的各式：① $x + (- y + z) = x - y + z$ ；② $x - (- y + z) = x - y - z$ ；③ $x + (- y + z) = x + y + z$ ；④ $x - (- y + z) = x + y - z$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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7、下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} y - y x^{2} = x^{2} y$ B、 $3 x + 2 y = 5 x y$ C、 $(- 3) + (- 2) = - 1$ D、 $2 \div \frac{3}{5} \times (- \frac{5}{3}) = - 2$

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8、杭州某天的最低气温为-2℃，最高气温为6℃，则这天的温差为（）

A、-2℃ B、6℃ C、4℃ D、8℃

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9、“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．

某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：

已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $E$ ， $F$ 分别是直线 $B C$ ， $C D$ 上的点．

（1）如图，若 $A B ⊥ C B$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E$ ， $F$ 分别在线段 $B C$ ， $C D$ 上，且满足 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试探究线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

数学小组探究此问题的方法是：延长 $C B$ 到点 $G$ ，使 $B G = D F$ ．连接 $A G$ ，先证 $△ A B G$ 与 $△ A D F$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A E G$ 的全等，可得到 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段 $E F$ ， $B E$ ， $F D$ 之间的数量关系为__________．

（2）如图，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别在线段 $C B$ ， $D C$ 的延长线上，且满足 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试探究线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

数学小组的同学们先猜想线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法：

方法1：延长 $B E$ 至点 $G$ ，使得 $B G = D F$ ，先证 $△ A B G$ 与 $△ A D F$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A E G$ 的全等，可得到线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 的之间的数量关系．

方法2：在 $D F$ 上截取 $D G = B E$ ，先证 $△ A D G$ 与 $△ A B E$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A G F$ 的全等，可得到 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明．

（3）如图，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ 不变，点 $E$ 在 $C B$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，若 $E F = B E + D F$ ，请直接写出 $∠ E A F$ 与 $∠ B A D$ 的数量关系．

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10、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：__________；图2： ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；图3：__________．
这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
方法一：从“数”的角度解：
$∵ a + b = 3$ ，
$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．
方法二：从“形”的角度解：
$∵ a + b = 3$ ，
$∴ S_{大正方形} = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ S_{2} = S_{3} = a b = 1$ ，
$∴ S_{1} + S_{4} = S_{大正方形} - S_{2} - S_{3} = 9 - 1 - 1 = 7$ ．即 $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
类比迁移：
（2）若 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ __________．
（3）若 $a$ ， $b$ 为非负数， $a - b = 3$ ， $a b = 1$ ，则 $a + b =$ __________．
（4）若 $(5 - x) (x - 1) = 3$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2} =$ __________．
（5）如图5，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ ， $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 10$ ，两个正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 72$ ，求图中阴影部分面积．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $M$ 是 $B D$ 的中点， $E$ 是线段 $C A$ 上一动点，且 $C E = C D$ ，连接 $A D$ ，作 $D F ⊥ A D$ 交 $E M$ 延长线于点 $F$ ．猜想线段 $A D$ 与 $D F$ 的数量关系，并证明你的结论．

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12、观察下列一组等式：
$(a + 1) (a^{2} - a + 1) = a^{3} + 1$ ；
$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8$ ；
$(a + 3) (a^{2} - 3 a + 9) = a^{3} + 27$ ；
$(a - 4) (a^{2} + 4 a + 16) = a^{3} - 64$ ．

(1)、利用你的发现填空．
① $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) =$ _____；
② $(2 x + 1)$ （_____） $= 8 x^{3} + 1$ ；
③（_____） $(x^{2} + 4 x y + 16 y^{2}) = x^{3} - 64 y^{3}$ ；

(2)、利用你发现的规律计算： $(a + b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$

(3)、利用你发现的规律解决问题．若 $a + b = 3$ ， $a b = - 10$ ，则 $a^{3} + b^{3}$ 的值为__________．

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E C$ 中， $∠ B = ∠ D E C = 90 °$ ，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，已知 $A B = D E$ ， $A C = D C$ ，若 $A F = 3$ ， $D E = 7$ ，求 $E F$ 的长度．

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14、如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 45 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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15、如图，在 $△ A C F$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上， $∠ C A F = ∠ D B E$ ， $A B = C D$ ， $∠ E = ∠ F$ ．求证： $C F ∥ D E$ ．

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16、先化简，再求值： $[(3 x + 1) (3 x - 1) - {(2 x + 3)}^{2} + (x + 2) (x + 5)] \div x$ ，其中 $x = - 1$ ．

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17、计算： $m^{7} \cdot m^{5} + {(- m^{3})}^{4} - {(- 2 m^{4})}^{3}$

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18、我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
（1） ${(x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的一次项系数是；
（2） ${(a + b)}^{2025}$ 的展开的多项式中各项系数之和为．

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19、如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $D A$ 的延长线上， $C E = B C ， A F = A D$ ，如果 $△ A B C$ 的面积是8，那么 $△ D E F$ 的面积等于．

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20、已知 $2^{m + n} = 32$ ，则 $7 - 2 m - 2 n =$ ．

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