相关试卷

1、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 10$ ， $E$ ， $F$ 是 $B C$ 边上两点，且 $B E = 3$ ， $C F = 2$ ，连接 $A F$ ， $D E$ ， $A F$ 和 $D E$ 交于点 $G$ ，连接 $B G$ ，则 $cos ∠ A B G$ 的值是．

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2、如图，在菱形 $A O B C$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ，其顶点 $A$ 落在反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x}$ 的图象上，顶点 $B$ 落在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则 $k$ 的值为．

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3、已知 $a = 2 - b$ ，那么 $(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) \div (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$ 的值是．

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4、如图，直线 $y = x + b$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于点 $B$ 和点 $C$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第一象限内交于点 $A (4, 2)$ ．

(1)、求直线 $y = x + b$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的解析式；

(2)、将直线 $y = x + b$ 平移得到直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形面积是 $△ B C O$ 面积的 $2$ 倍，求直线 $l$ 的解析式；

(3)、对于点 $P (c, d)$ ，我们定义：当点 $M (m, n)$ 满足 $m + c = n + d$ 时，称点 $M$ 是点 $P$ 的等和点．试探究在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上是否存在点 $P$ ，使点 $P$ 的等和点 $M$ 在直线 $y = x + b$ 上?若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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5、如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过点 $O$ 作 $A B$ 的垂线交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交过点 $C$ 的切线于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F = C F$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 半径为5， $A C = 3 \sqrt{10}$ ，求 $O D$ 的长和 $tan F$ 的值．

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6、如图，将高度 $A C$ 为 $20 cm$ 的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿 $A$ 处投射到底部 $B$ 处．向水槽注水，水面上升到 $A C$ 的中点 $E$ 处时停止注水，光线射到水面 $O$ 处后发生折射落到底部 $D$ 处．已知 $∠ A = 45 °$ ，直线 $N^{'} N$ 为法线， $∠ D O N = 32.1 °$ ，求 $B$ ， $D$ 两点之间的距离．（结果精确到 $0.1 cm$ ；参考数据： $sin 32.1 ° \approx 0.531$ ， $cos 32.1 ° \approx 0.847$ ， $tan 32.1 ° \approx 0.627$ ）

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7、某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行 $1000$ 米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

(1)、扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图；

(2)、该校九年级共有 $300$ 名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数；

(3)、 $9.1$ 班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会 $1000$ 米跑比赛，预赛分为 $A$ ， $B$ ， $C$ 三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．

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8、（1）计算： $\sqrt{9} - 4 cos 60^{\circ} + {(π - 2025)}^{0} - |- 2|$ ；
（2）解不等式组： $\{\begin{cases} 5 x - 2 < 3 (x + 1) ① \\ \frac{3 x - 2}{3} \leq x + \frac{x - 2}{2} ② \end{cases}$

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9、由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要根火柴棒．

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10、二十四节气是中国古人智慧的结晶，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四节气中，春季的节气有：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨；夏季的节气有：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑；秋季的节气有：立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降；冬季的节气有：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．若从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为．

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11、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- 2 ， 3)$ ，将线段 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，则点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $A B$ 的中点．按下列步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，交线段 $B M$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ；②以点 $M$ 为圆心， $B D$ 长为半径画弧，交线段 $M A$ 于点 $F$ ；③以点 $F$ 为圆心， $D E$ 长为半径画弧，交前一条弧于点 $G$ ，点 $G$ 与点 $C$ 在直线 $A B$ 同侧；④作直线 $M G$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ．则下列结论不一定成立的是（）

A、 $∠ A M N = ∠ B$ B、 $∠ M N C + ∠ C = 180 °$ C、 $A N = C N$ D、 $A B = 2 M N$

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13、为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是

A、2.2，2.2 B、2.1，2.2 C、2.15，2.2 D、1.7，2.7

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14、下列运算中，计算正确的是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$ C、 $5 a - 2 a = 3 a$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$

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15、 $2025$ 年政府工作报告提到： $2024$ 年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长 $8.9 %$ 、 $7.7 %$ ，新能源汽车年产量突破 $1300$ 万辆．其中数据“ $1300$ 万”用科学记数法表示为（）

A、 $1.3 \times 10^{6}$ B、 $1.3 \times 10^{7}$ C、 $1.3 \times 10^{8}$ D、 $13 \times 10^{6}$

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16、如图所示的几何体是由 $5$ 个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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17、在下列四个实数中，是无理数的是（）

A、 $- 3$ B、0 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合思想是解决问题的有效途径．
若x满足 $(1 - x) (x - 5) = 2$ ，求 ${(1 - x)}^{2} + {(x - 5)}^{2}$ 的值．
解：设 $(1 - x) = a$ ， $(x - 5) = b$ ，
则 $(1 - x) (x - 5) = a b = 2$ ， $a + b = (1 - x) + (x - 5) = - 4$ ．
$∴ {(1 - x)}^{2} + {(x - 5)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = {(- 4)}^{2} - 2 \times 2 = 16 - 4 = 12$ ；
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(25 - x) (x - 5) = 40$ ，则 ${(25 - x)}^{2} + {(x - 5)}^{2} =$ ______；

(2)、若x满足 ${(2023 - x)}^{2} + {(x - 2001)}^{2} = 300$ ，求 $(2023 - x) (x - 2001)$ 的值；

(3)、如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13，以 $A B$ 为边作正方形 $A B D E$ ，以 $A C$ 为边作正方形 $A C F G$ ，延长 $E D$ 交 $F C$ 于P．若正方形 $A C F G$ 与正方形 $A B D E$ 面积的和为117，求长方形 $A C P E$ 的面积．

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19、伴随 $2022$ 年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共 $20$ 个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个 $180$ 元，雪容融钥匙扣每个 $70$ 元．

(1)、该单位准备用不超过 $3000$ 元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？

(2)、若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的 $3$ 倍，求此时所用的最少资金．

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20、解下列一元一次不等式组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x < x + 2 \\ x + 6 < 4 x - 3 \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} 5 x - 1 \leq 3 (x + 1) \\ \frac{x + 1}{3} - x < 3 \end{matrix}$

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