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1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下的定义：若在图形 $M$ 存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离小于或等于 $1$ ，则称 $P$ 为图形 $M$ 的关联点．

(1)、当 $⊙ O$ 的半径为 $2$ 时，
①在点 $P_{1} (\frac{1}{2} ， 0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (\frac{5}{2} ， 0)$ 中， $⊙ O$ 的关联点是_______________．
②点 $P$ 在直线 $y = - x$ 上，若 $P$ 为 $⊙ O$ 的关联点，求点 $P$ 的横坐标的取值范围．

(2)、 $⊙ C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为 $2$ ，直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．若线段 $A B$ 上的所有点都是 $⊙ C$ 的关联点，直接写出圆心 $C$ 的横坐标的取值范围．

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2、如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线 $D F$ ，交 $C O$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F ∥ A B$ ；

(2)、若 $∠ A = 30 °$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，求 $D F$ 的长．

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3、已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、此函数图象的对称轴______和顶点坐标______；

(2)、画出此函数的图象；

(3)、当 $- 3 < x < 1$ 时， $y$ 的取值范围是______；

(4)、若点 $A (0, y_{1})$ 和 $B (m, y_{2})$ 都在此函数的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，结合函数图象，直接写出 $m$ 的取值范围．

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4、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，切点分别为D，E，F．若 $C F = 7$ ， $A B = 9$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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5、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦：点 $C$ 是 $A B$ 的中点，连接 $O C$ 并延长交劣弧 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $O B$ ， $D B$ ，若 $A B = 4$ ， $C D = 1$ ，则 $△ B O D$ 的面积．

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6、已知如图，二次函数 $y = a x^{2} - 6 a x + 4$ 的顶点为 $M$ ，最大值为 $\frac{25}{4}$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，以 $A B$ 为直径作圆，记作 $⊙ D$ ，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线 $x = 3$ ；
②点 $C$ 在 $⊙ D$ 上；
③在抛物线上存在一点 $E$ ，能使四边形 $A D E C$ 为平行四边形；
正确的结论是（）

A、①③ B、①② C、②③ D、①②③

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7、如图，点 $A 、 B 、 C$ 都在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A O C = 150 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数（）

A、 $30 °$ B、 $150 °$ C、 $105 °$ D、 $110 °$

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8、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线m为经过 $(0, 2)$ 且垂直于y轴的直线，直线n为经过 $(3, 0)$ 且垂直于x轴的直线．图形G关于直线m的对称图形称为图形G的一次对称图形；记作图形 $G_{1}$ ，图形 $G_{2}$ 关于直线n的对称图形称为图形G的二次对称图形，记作图形 $G_{2}$ ．
根据定义，回答下列问题：

(1)、点 $A (1, - 1)$ 的一次对称点的坐标与二次对称点的坐标分别为_______，________．

(2)、点 $B (x, y)$ 在第三象限， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别是点B的一次对称点与二次对称点， $△ B B_{1} B_{2}$ 为等腰直角三角形．
①求y与x之间满足的数量关系；
②已知 $M (1, 0)$ ， $N (- 2, - 2)$ ，写出 $\sqrt{2} B N + B M$ 的最小值为_______；

(3)、已知点 $C (1, a)$ ， $D (2, a)$ ，若以 $C D$ 为边的正方形 $C D P Q$ （P、Q在线段 $C D$ 的上方）的二次对称图形与过 $(0, a + 3)$ 且垂直于y轴的直线有公共点，写出a的取值范围．

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10、在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 边上一个动点（点D不与点B、C重合），连接 $A D$ ，点D关于 $A C$ 的对称点为F，点E在射线 $C F$ 上且 $∠ C A E = ∠ B A D$ ．

(1)、若点D在 $B C$ 边上的位置如图所示．
①在图中按题意补全图形；
②写出线段 $B D 、 C D 、 E F$ 之间满足的数量关系，并证明；

(2)、过点A作直线 $C E$ 的垂线，垂足为G，写出线段 $B D 、 C D 、 G F$ 之间满足的数量关系．

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11、如图，在等边 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 的中点，E是 $C B$ 延长线上的一点，且 $∠ B D E = 30 °$ ， $D M ⊥ B C$ ，垂足为M．求证∶

(1)、 $D E = 2 D M$ ；

(2)、M是 $C E$ 的中点．

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12、小亮同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 $30 °$ ，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程．
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、尺规作图：作 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C 、 A B$ 于点D、E，连接 $B D$ （保留作图痕迹）

(2)、补全证明过程（写出结论依据）
由作图可知：
$∵ D E$ 是 $A B$ 的垂直平分线，
$∴ A E = E B$ ， $D A = D B$ ．（________）（填推理的依据）
$∴ ∠ A = ∠ A B D$ （_________）（填推理的依据）
$∵ B C = \frac{1}{2} A B$ ，
$∴ E B = B C$ ．
在 $Rt △ B E D$ 与 $Rt △ B C D$ 中， $\{\begin{array}{l} B D = B D \\ B E = B C \end{array}$
$∴ Rt △ B E D ≌ Rt △ B C D$
$∴ ∠ A B D = ∠ D B C$ ．
$∴$ _________．
$∵ ∠ A + ∠ A B C = 90 °$ ，
$∴ ∠ A + ∠ A B D + ∠ D B C = 90 °$ ，
$∴ ∠ A = 30 °$ ．

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13、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点的坐标分别为 $A (- 3, 1)$ ， $B (- 1, - 2)$ ， $C (1, 3)$ ．

(1)、点A关于x轴的对称点坐标为；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是______；

(3)、已知P是x轴上一点，当 $A P + P C$ 最小时，直接写出P点坐标．

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14、有一种如图所示的空调支架，可将空调室外机固定在支架上，这是利用了三角形的．

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15、如图，分别以 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 向外作两个等边三角形 $△ A B D$ 与 $△ A C E$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ 交点F，连接 $A F$ ．以下四个结论：① $D C = E B$ ；② $∠ B F C = 120 °$ ；③ $F A$ 平分 $∠ E F D$ ；④ $A F + B F + C F = C D$ ，其中正确结论的是（）

A、①②③④ B、①③④ C、①②③ D、①②④

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16、某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图．其中射线 $O P$ 为 $∠ A O B$ 的平分线的共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C =110 °$ ， $∠ B = 40 °$ ， D是 $B C$ 上一点，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折叠，使点B落在 $A C$ 边上 $B^{'}$ 处，则 $∠ B^{'} D C$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $15 °$ C、 $10 °$ D、 $5 °$

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18、下列和平鸽的图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，点 $O$ 是直线 $A B$ 上的一点，射线 $O C 、 O D$ 在直线 $A B$ 的同侧，且 $∠ A O C = 60^{\circ}$ ， $∠ B O D = 30^{\circ}$ ．

(1)、如图①， $∠ C O D =$ __________；

(2)、如图②，若射线 $O E$ 平分 $∠ A O D$ ，求 $∠ C O E$ 的度数；

(3)、如图③，在（2）的条件下，若射线 $O F$ 从 $O C$ 开始绕点 $O$ 以每秒 $2 °$ 的速度顺时针旋转；同时射线 $O G$ 从 $O D$ 开始绕点 $O$ 以每秒 $4^{\circ}$ 的速度逆时针旋转；当射线 $O G$ 与 $O A$ 重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间 $t$ ，使得 $∠ E O F = 2 ∠ G O E$ ？若存在，请求出 $t$ 的值，若不存在，请说明理由．

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20、某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润 $=$ 售价 $-$ 进价）
型号
进价（元/只）
预售价（元/只）
甲型
20
25
乙型
35
40

(1)、求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？

(2)、在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．

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型号	进价（元/只）	预售价（元/只）
甲型	20	25
乙型	35	40