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1、“小时不识月，呼作白玉盘”，2025年春晚歌曲《玉盘》不仅承载着深厚的民族文化内涵，更展现了中国人对星辰大海的探索精神．科学家测出地球到月球的平均距离约为 $384400$ 千米，将 $384400$ 用科学记数法表示为．

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2、若代数式 $6 x - 5$ 的值与 $- \frac{1}{4}$ 互为倒数，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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3、下列各数，是方程 $x^{3} + 2 x = - 3$ 的解的是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ． M为 $B D$ 上的动点，连结 $A M$ ， $M C$ ．

(1)、当 $A M ⊥ B D$ 时，求 $A M$ ；

(2)、当 $A B = B M$ 时，求证： $A M = C M$ ；

(3)、求 $B M + 2 C M$ 的最小值．

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5、阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
$x^{2} + 2 x + 5 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} - 1^{2} + 5 = {(x + 1)}^{2} + 4$ ，
$∵ {(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ x^{2} + 2 x + 5 \geq 4$ （满足条件①）
当 $x = - 1$ 时， $x^{2} + 2 x + 5 = 4$ （满足条件②）
$∴ 4$ 是 $x^{2} + 2 x + 5$ 的下确界．
又例如：
$x^{2} + 2 |x| + 5 = {|x|}^{2} + 2 \cdot |x| \cdot 1 + 1^{2} - 1^{2} + 5 = {(|x| + 1)}^{2} + 4$ ，
由于 $| x | \neq - 1$ ，所以 $x^{2} + 2 | x | + 5 \neq 4$ ，（不满足条件②）
故4不是 $x^{2} + 2 | x | + 5$ 的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：

(1)、求 $x^{2} - 4 x + 1$ 的下确界．

(2)、若代数式 $2 x^{2} + m x + 3$ 的下确界是1，求m的值．

(3)、求代数式 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y - 2 x - 4 y + 10$ 的下确界．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ ，垂足为 $H$ ，并交 $B C$ 延长线于 $F$ ．

(1)、求证： $A E = E D$ ；

(2)、请猜想 $∠ B$ 与 $∠ C A F$ 的大小关系，并证明你的结论．

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7、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 $(x - 1) (x - 9)$ ，另一位同学因看错了常数项而分解成 $(x - 2) (x - 4)$ ．

(1)、求原来的二次三项式；

(2)、将（1）中的二次三项式分解因式．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，

(1)、尺规作图，在 $B C$ 上找一点 $F$ ，使得 $F A = F B$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、若 $B F = 3$ ，求 $C F$ 的长度．

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9、如图，已知 $A B = D C$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $A C$ 与 $D B$ 相交于点 $O$ ．求证： $△ A O B ≌ △ D O C$ ．

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10、（1）分解因式： $a^{3} - 4 a^{2} + 4 a$ ；
（2）计算： $[{(4 x - y)}^{2} - (y + 2 x) (y - 2 x)] \div 2 x$ ．

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11、如图，在边长为 $2$ 的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，连接 $B E$ ，在 $B E$ 的下方作等边 $△ B E F$ ，连接 $D F$ ．当 $△ B D F$ 的周长最小时， $∠ D B F$ 的度数是．

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12、如图， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，且 $∠ A O B = 60 °$ ，点 $P$ 为 $O C$ 上任意点， $P M ⊥ O A$ 于 $M$ ， $P D ∥ O A$ 交 $O B$ 于 $D$ ，若 $O M = 3$ ，则 $P D$ 的长为．

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13、若分式 $\frac{x - 3}{x + 4}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14、如图，某小区规划在边长为 $x m$ 的正方形场地上，修建两条宽为 $2m$ 的甬道，其余部分种草，下列各式中，表示甬道所占面积的为（）

A、 $4 x + 4$ B、 $x^{2} - {(x - 2)}^{2}$ C、 ${(x - 2)}^{2}$ D、 $x^{2} - 2 x - 2 x + x^{2}$

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15、如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、计算 $(2 a + b - c) (2 a - b + c) =$ （）

A、 ${(2 a + b)}^{2} - c^{2}$ B、 ${(2 a)}^{2} - {(b - c)}^{2}$ C、 ${(2 a - b)}^{2} - c^{2}$ D、 ${(2 a)}^{2} - {(b + c)}^{2}$

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17、下列各式从左至右变形一定正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{b + c}{a + c}$ B、 $\frac{b}{a} = \frac{b - m}{a - m}$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{b c}{a c}$ D、 $\frac{a b}{a^{2}} = \frac{b}{a}$

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18、下列计算错误的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ B、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ C、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{3}$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{4}$

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19、下列各式中，是分式的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{x}{2}$ C、 $\frac{3}{π}$ D、 $\frac{1}{x - 2}$

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20、定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”．

(1)、以下四边形中，是“等线四边形”的为_______．（填序号）
$①$ 平行四边形； $②$ 矩形； $③$ 菱形； $④$ 正方形．

(2)、如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，连接 $M N$ ， $D N$ ．求证：四边形 $A M N D$ 为“等线四边形”．

(3)、如图 $2$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2 B C = 4$ ．
$①$ 请用无刻度的直尺和圆规作 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ （保留作图痕迹，不写作法）；
$②$ 在 $①$ 的条件下， $P$ 为直线 $M N$ 上一点，若以点 $A 、 B 、 C 、 P$ 为顶点的四边形是“等线四边形”，直接写出这个“等线四边形”的面积．

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