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1、 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 的半径分别为R、r ，如果在直线 $O_{1} O_{2}$ 取一点P ，使 $\frac{O_{1} P}{O_{2} P} = \frac{R}{r} = k$ ，那么称 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作 $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）．

(1)、如图①，已知 $⊙ O_{1}$ 和点P ，画 $⊙ O_{2}$ ，使 $⊙ O_{2}$ 与 $⊙ O_{1}$ 关于点P位似，且 $⊙ O_{2}$ 与 $⊙ O_{1}$ 的位似比为 $\frac{1}{2}$ ；

(2)、如图②，已知 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 关于点P位似，直线l经过点P且与 $⊙ O_{1}$ 相切，切点为A ，请判断直线l与 $⊙ O_{2}$ 的位置关系，并说明理由．

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 在射线 $B A$ 上， $D C$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ D C$ ，交 $D C$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B C$ 、 $O C$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $∠ A B E$ 的平分线；

(2)、若 $D C = 8$ ， $D A = 4$ ，求 $A B$ 的长．

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3、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $O D$ 为 $⊙ O$ 的半径， $⊙ O$ 的弦 $C D$ 与 $A B$ 相交于点 $F$ ， $⊙ O$ 的切线 $C E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ， $E F = E C$ ．

(1)、求证： $O D ⊥ A B$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径长为 $3$ ，且 $B F = B E$ ，求 $O F$ 的长．

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4、已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 与 $A B$ 相交， $∠ B A C = 38 °$ ．

(1)、如图①，若D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，求 $∠ A B C$ 和 $∠ A B D$ 的大小；

(2)、如图②，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与 $A B$ 的延长线交于点P ，若 $D P ∥ A C$ ，求 $∠ O C D$ 的大小．

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5、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C点在 $⊙ O$ 上， $A D$ 平分角 $∠ B A C$ 交 $⊙ O$ 于D ，过D作直线 $A C$ 的垂线，交 $A C$ 的延长线于E ，连接 $B D$ ， $C D$ ．

(1)、求证： $B D = C D$ ；

(2)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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6、如图，以 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上一点 $O$ 为圆心的圆，经过 $A$ 、 $B$ 两点，且与 $B C$ 边交于点 $E$ ，点 $D$ 为 $B E$ 的下面半圆的中点，连接 $A D$ 交 $B C$ 于 $F$ ，若 $A C = F C$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $E F = E C = 2$ ，求 $D F$ 的长．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A B = 5, B C = 4$ ．以点 $A$ 为圆心， $r$ 为半径作圆．

(1)、当点 $C$ 在 $⊙ A$ 内时， $r$ 的取值范围是；

(2)、若 $r = 3$ ，则点 $C$ 在 $⊙ A$ ，点 $B$ 在 $⊙ A$ ；

(3)、当点 $A, B, C$ 中只有两点在 $⊙ A$ 内时， $r$ 的取值范围是．

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8、如图，已知 $A 、 B$ 是线段 $M N$ 上的两点， $M N = 4 ， M A = 1 ， M B > 1$ ，以A为中心顺时针旋转点M ，以B为中心逆时针旋转点N ，使 $M 、 N$ 两点重合成一点C ，构成 $△ A B C$ ，设 $A B = x$ ，若以点B为圆心， $1.6$ 为半径作 $⊙ B$ ，使点M和点N都在 $⊙ B$ 外，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $1 < x < 2$ B、 $1 < x < 1.4$ C、 $1 < x < 1.6$ D、 $0.6 < x < 1.4$

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9、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是某社区的三栋楼，若在 $A C$ 中点 $D$ 处建一个 $5 G$ 基站，其覆盖半径为 $200 m$ ，则这三栋楼中在该 $5 G$ 基站覆盖范围内的是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $C$ 都不在 B、只有 $B$ C、只有 $A$ ， $C$ D、 $A$ ， $B$ ， $C$

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10、“耕读传家远，诗书济世长．”我国传统的教育一直注重劳动教育，积累了丰富的劳动教育智慧．《关于全面加强新时代中小学生劳动教育的意见》强调，学校要注重劳动教育系统化、课程化，要组织相关力量搭建劳动平台，支持学生开展劳动实践．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆菜苗的价格是菜苗基地每捆菜苗价格的1.5倍，用300元在市场上购买的这种菜苗比在菜苗基地购买的少4捆．求菜苗基地每捆这种菜苗的价格．

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11、数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（）

A、 $10 x = 40 (x + 6)$ B、 $10 (x - 6) = 40 x$ C、 $\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$ D、 $\frac{10}{x - 6} = \frac{40}{x}$

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12、《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 $900$ 里远的城市，所需时间比规定时间多 $1$ 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 $3$ 天，已知快马的速度是慢马的 $2$ 倍，求规定时间，设规定时间为 $x$ 天，则可列出正确的方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 3} = 2 \times \frac{900}{x - 1}$ B、 $\frac{900}{x - 3} = 2 \times \frac{900}{x + 1}$ C、 $\frac{900}{x - 1} = 2 \times \frac{900}{x + 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = 2 \times \frac{900}{x - 3}$

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13、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 a + 1}{x + 1} = a$ 有解，则 $a$ 的取值范围是．

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14、关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x + 1}{x - 3} = \frac{m}{3 - x} + 1$ 有增根，则 $m$ 的值是（）

A、3 B、0或3 C、7 D、 $- 7$

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15、若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x - 3} + 7 = \frac{x - 4}{3 - x}$ 有增根，则 $m$ 的值为．

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16、计算：

(1)、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} = \frac{2}{x^{2} - x}$ ；

(2)、 $\frac{2 x + 9}{3 x - 9} = \frac{4 x - 7}{x - 3} - 1$ ．

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17、解方程：

(1)、 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1}$ ；

(2)、 $\frac{x － 2}{x + 2} － \frac{16}{x^{2} － 4} = 1$ ．

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18、判断下列方程是不是关于 $x$ 的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母 $x$ ）．

(1)、 $\frac{a + x}{b} = \frac{b - x}{n} + 6$ ；

(2)、 $\frac{a}{x^{2} - 4} = 7$ ；

(3)、 $\frac{x}{π} + a x = b$ （ $π$ 是常数．）；

(4)、 $1 - \frac{1}{x} = 2 - \frac{2}{x}$ ．

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19、下列关于x的方程中（1） $\frac{1}{x} = 1$ ；（2） $\frac{2 x + 1}{3} = 1 + \frac{1 - 3 x}{4}$ ；（3） $\frac{x}{b} + \frac{x}{b} = 1$ ；（4） $\frac{x}{a} - 3 = a + 4$ ；（5） $\frac{2 x + 3 y}{π} + 1 = 0$ ，其中是分式方程的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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20、下列关于 $x$ 的方程中不是分式方程的是（）

A、 $\frac{x}{5} = \frac{6}{x - 5}$ B、 $\frac{20}{x + 1} = \frac{5}{x - 1}$ C、 $\frac{3 x}{x^{2} + 3} = 5$ D、 $\frac{x}{2} = \frac{x}{4} - x$

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