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相关试卷

1、阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如 $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y$ ，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y = (x^{2} - 4 y^{2}) + (2 x - 4 y)$ 分组
$= (x - 2 y) (x + 2 y) + 2 (x - 2 y)$ 组内分解因式
$= (x - 2 y) (x + 2 y + 2)$ 整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $9 x^{2} - y^{2} - 9 x + 3 y$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边a、b、c满足 $a^{2} - b^{2} - a c + b c = 0$ ，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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2、阅读下列材料，并完成相应的任务.

数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“ $m^{2} - m n + 2 m - 2 n$ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下： $m^{2} - m n + 2 m - 2 n = (m^{2} - m n) + (2 m - 2 n) = m (m - n) + 2 (m - n) = (m - n) (m + 2)$ .

此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.

任务：

(1)、因式分解：

a^{3} - 3 a^{2} + 2 a - 6

；

(2)、已知

m + n = - 5

，

m - n = 2

，求

m^{2} - n^{2} + 9 m - 9 n

的值.

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3、因式分解： $x y - x - 4 y + 4 =$ ．

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4、在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：

甲： $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$

$= (x^{2} - x y) + (4 x - 4 y)$ （分成两组）

$= x (x - y) + 4 (x - y)$ （直接提公因式）

$= (x - y) (x + 4)$ ，

乙： $a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c$

$= a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2 b c)$ （分成两组）

$= a^{2} - {(b - c)}^{2}$ （直接运用公式）

$= (a + b - c) (a - b + c)$

请在他们的解法启发下解答下面各题：

(1)、因式分解：

4 a^{2} - 9 + b^{2} - 4 a b

；

(2)、若

a - b = - 5, b - c = 3

，求式子

a b - b c + a c - a^{2}

的值．

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5、我们有公式： $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式： $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．
如果有一个关于 $x$ 的二次项系数是1的二次三项式 $x^{2} + p x + q$ ，它的常数项可以看作两个数 $a$ 与 $b$ 的积，而它的一次项的系数恰是 $a$ 与 $b$ 的和，它就可以分解为 $(x + a) (x + b)$ ，也就是说：当 $p = a + b$ ， $q = a b$ 时，有 $x^{2} + p x + q = x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．
例如： $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ ； $m^{2} + 17 m + 60 = (m + 12) (m + 5)$ ；
$x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ ； $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ ．
下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 2 x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 9$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 2 x = y$ ，则原式 $= (y - 2) (y + 4) + 9 = y^{2} + 2 y + 1 = {(y + 1)}^{2} = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ ．

(1)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

(2)、请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x - 2) - 3$ 进行因式分解．

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6、利用整式的乘法运算法则推导得出： $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ ．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 $a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$ ．通过观察可把 $a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ 看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 $a c$ 与常数项 $b d$ 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式 $2 x^{2} + 11 x + 12$ 的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则 $2 x^{2} + 11 x + 12 = (x + 4) (2 x + 3)$ ．
根据阅读材料解决下列问题：

(1)、用十字相乘法分解因式： $x^{2} + 6 x - 27$ ；

(2)、用十字相乘法分解因式： $6 x^{2} - 7 x - 3$ ；

(3)、结合本题知识，分解因式： $20 (x + y)^{2} + 7 (x + y) - 6$ ．

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7、代数式 $x^{2} - 5 x + 6$ 因式分解的结果的是（）

A、 $(x - 2) (x - 3)$ B、 $(x - 1) (x + 6)$ C、 $(x + 2) (x + 3)$ D、 $(x + 1) (x - 6)$

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8、【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：

$x^{2} + (p + q) x + p q$ 型式子的因式分解

$x^{2} + (p + q) x + p q$ 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢?

在第102页的练习第2题中，我们发现， $(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + p q$ .这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：

$(x + p) (x + q)$ $= x^{2} + p x + q x + p q$ $= x^{2} + (p + q) x + p q$

因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得

$x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ①

利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子 $x^{2} + 3 x + 2$ 分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项 $2 = 1 \times 2$ ，一次项系数 $3 = 1 + 2$ ，因此这是一个 $x^{2} + (p + q) x + p q$ 型的式子.利用①式可得 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

上述分解因式 $x^{2} + 3 x + 2$ 的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）.

这样，我们也可以得到 $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：

(1)、分解因式：

y^{2} + 7 y - 18 =

；

(2)、【知识应用】

x^{2} + m x + 3 = (x + n) (x - 3)

，则

m =

，

n =

；

(3)、【拓展提升】如果

x^{2} + m x + 6 = (x + p) (x + q)

，其中m，p，q均为整数，求m的值.

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9、阅读与思考

下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日星期日晴

过圆外一点作圆的切线

我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是 $⊙ O$ 外的一点）：

作法一（如图1）：

1．连接 $O P$ ，作线段 $O P$ 的垂直平分线，交 $O P$ 于点A；

2．以点A为圆心，以 $A O$ 的长为半径作弧，交 $⊙ O$ 于点B；

3．作直线 $P B$ ，则直线 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

证明：如图1，连接 $O B ， A B$ ．

由作图可知 $A P = O A = A B$ ，

∴ $∠ A O B = ∠ A B O$ ， $∠ A B P = ∠ A P B$ ．（依据）

在 $△ O P B$ 中，∵ $∠ P B O + ∠ P O B + ∠ A P B = 180 °$ ，

∴ $2 ∠ A B O + 2 ∠ A B P = 180 °$ ．

∴ $∠ P B O = 90 °$ ．

∴ $P B ⊥ O B$ ．

∵ $O B$ 是 $⊙ O$ 的半径，

∴直线 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

作法二（如图2）：

1．连接 $O P$ ，交 $⊙ O$ 于点A ，过点A作 $O P$ 的垂线 $A D$ ；

2．以点O为圆心，以 $O P$ 的长为半径作弧，交直线 $A D$ 于点B；

3．连接 $O B$ ，交 $⊙ O$ 于点C；

4．作直线 $P C$ ，则直线 $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

证明：……

任务：

(1)、“作法一”中的“依据”是指．

(2)、请写出“作法二”的证明过程．

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10、

(1)、如图，已知 $⊙ A$ 与 $⊙ A$ 外一点 $B$ ，请利用直尺和圆规按要求作图：
①连接 $A B$ ，利用尺规作出 $A B$ 的垂直平分线 $l$ ，与 $A B$ 交于点 $C$ ；
②以 $C$ 为圆心， $C A$ 长为半径作 $⊙ C$ ，与 $⊙ A$ 交于 $D$ ， $E$ 两点；
③连接 $B D$ ， $B E$ ．
根据所做图形，完成下列题目：

(2)、求证： $B D$ 是 $⊙ A$ 的切线；

(3)、若 $⊙ A$ 的半径为2，过 $C$ 做 $A D$ 的平行线，与 $B D$ 所在直线相交于点 $P$ ， $C P$ 恰好是 $⊙ A$ 的切线，请求出 $A B$ 的长．

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11、【已有经验】我们通过尺规作图，可以作 $⊙ O_{1}$ 经过A ， B两点，如图1所示；也可以作 $⊙ O_{2}$ （或 $⊙ O_{3}$ ），使 $⊙ O_{2}$ （或 $⊙ O_{3}$ ）过点M ，且与直线l相切，如图2－1（或图2－2）．

(1)、【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知 $∠ P$ ，求作 $⊙ O$ 使其与 $∠ P$ 的两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、【问题解决】如图4，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ．若 $⊙ O$ 经过点C ，且与直线 $A B$ 相切， $⊙ O$ 的半径为r ，当圆心O在 $△ A B C$ 的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．

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12、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， ⊙ $O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，半径为 $r$ ，切点为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，连接 $O D$ ， $O E$ ， $O F$ ．

(1)、若 $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，则 $r =$ ；

(2)、若 $Rt △ A B C$ 的周长为 $L$ ，面积为 $S$ ，则 $S$ ， $L$ ， $r$ 之间有什么数量关系，并说明理由．

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13、已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中a ， b ， c是三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， S为三角形的面积），并给出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ， $A B = 9$ ．

(1)、用海伦公式求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $△ A B C$ 的内切圆半径r ．

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14、如图，

Rt △ A B C

中，

∠ C = 90 °

，

A B = c

，

A C = b

，

B C = a

，

⊙ O

是

△ A B C

的内切圆，求

⊙ O

的半径

r

（用含

a

、

b

、

c

的代数式表示）．

⑴小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_▲_．

解得 $r =$ _▲__（结果用含 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的代数式表示）．

小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_▲_．

解得 $r =$ _▲_（结果用含 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的代数式表示）．

⑵两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．

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15、如图， $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 分别相切于点D、E、F ．

(1)、若 $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ A C B = 75 °$ ，求 $∠ B O C$ 的度数；

(2)、若 $A B = 13$ ， $B C = 11$ ， $A C = 10$ ，求 $A E$ 的长．

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16、如图， $Rt △ A B C$ 的内切圆分别与三边相切于点D ，点E和点F ，若 $A D = 4$ ， $B D = 5$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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17、小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为 $60 °$ ）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是 $60 °$ 角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得 $A B ＝ 1$ ，则此光盘的直径为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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18、如图， $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $A B ， B C ， A C$ 分别相切于点 $D ， E ， F$ ，连接 $O E ， O F$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $2 - \frac{1}{2} π$ B、 $4 - \frac{1}{2} π$ C、 $4 - π$ D、 $1 - \frac{1}{4} π$

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19、如图， $⊙ O$ 经过菱形 $A B C D$ 的顶点 $B$ ， $D$ ，与边 $B C$ ， $C D$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、若 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切，求证： $A D$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、求证： $B E = D F$ ．

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20、如如图， $B C$ 是半圆 $⊙ O$ 的直径， $P B$ 是切线，点A是半圆上一点，且 $P A = P B$ ，连接 $A C$ ， $O A$ ， $O P$ ．

(1)、 $P A$ 与 $O A$ 的位置关系为；

(2)、求证： $A C ∥ O P$ ；

(3)、若四边形 $O C A P$ 是平行四边形，当 $B C = 4$ 时，求 $S_{▱ O C A P}$ 的值．

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