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相关试卷

1、运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高．）
①在5位同学中，有位同学第一次成绩比第二次成绩高；
②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是．（填“甲”或“乙”）

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2、某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中12个月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 $A$ 点表示10月的平均最高气温约为 $1 5^{°} C$ ， $B$ 点表示4月的平均最低气温约为 $5^{°} C$ ，下面叙述不正确的是（）

A、各月的平均最低气温都在0以上 B、平均最高气温高于 $2 0^{°} C$ 的月份有5个 C、3月和11月的最高气温基本相同 D、7月的平均温差比1月的平均温差大

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3、镇江——有山有水有底蕴，无数文人墨客歌咏过的山水在这里汇合，它是一座美的让人吃醋的城市.2024年的清明小长假，镇江各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的镇江旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：金山；B：焦山；C：圈山；D：西津渡；E：北固山；F：其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．

(1)、本次调查的样本容量为，并请你将条形统计图补充完整．

(2)、扇形统计图中，景点D所对应的圆心角的度数为．

(3)、若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“西津渡”与“金山”的学生总人数．

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4、我国是世界上验证缺水的国家之一，浙江总用水量逐年上升，浙江总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分，为了合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据进行处理，绘制了2014年浙江总用水量分布情况扇形统计图和2010~2014年浙江生活用水量折线统计图的一部分如下：

(1)、2013年浙江生活用水量比2010年增加了 $16 %$ ，则2010年浙江生活用水量为亿 $m^{3}$ ， 2014年浙江生活用水量比2010年增加了 $20 %$ ，则2014年浙江生活用水量为亿 $m^{3}$ ；

(2)、根据以上信息，2014年浙江总用水量为亿 $m^{3}$ ．

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5、积极回应人民群众对美好生活的向往，进一步完善“民声呼应”工作机制，是建设美好安徽的重要举措之一．我省某机构针对公民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是四类生活信息关注度的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题．

(1)、本次参与调查的人数有人；

(2)、关注城市医疗信息的有人，并补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，D部分的圆心角是度；

(4)、请写出一条你从统计图中获取的信息．

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6、某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元．则下列说法错误的是（）

A、该公司2022年营收总额约为30800万元 B、该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多 C、该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多 D、该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为 $35.6 %$

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7、第十四届浙江政协增设的“环境资源界”中共有委员85人，若其人员构成如图所示（假设每个委员只属于一个领域），则下列说法错误的是（）

A、环境资源领域的党政领导干部最多 B、生态文明建设领域的科研专家有17人 C、生态文明建设领域的科研专家比能源资源领域的企业负责人多 D、其他领域的委员约占 $10.6 %$

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8、某篮球训练营在暑期训练开始前，将参加训练营的队员的篮球水平分为A，B，C，D四个等级，并制作如图所示的扇形统计图、则 $D$ 等级所对应扇形的百分比为．

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9、如图是某班学生选择校服尺码的人数统计图，若选择 $S$ 码的有 $10$ 人，那么选择 $L$ 码的有（）

A、 $50$ 人 B、 $12$ 人 C、 $10$ 人 D、 $8$ 人

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10、甘肃某学校充分挖掘传统民间娱乐活动，开展丰富多彩的社团活动， $A, B, C, D$ 分别代表要狮子、跑旱船、舞龙灯、扭秧歌，要求每名学生必选且只选一种活动参加，该校八年级学生选择情况如下表及如图所示的扇形统计图：下列选项错误的是（）
课外活动种类
A
$B$
$C$
$D$
人数
$a$
175
100
$d$

A、八年级共500人 B、 $a = 150$ C、扇形“ $C$ ”的圆心角是 $60 °$ D、“ $D$ ”所占的百分比是 $15 %$

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11、在某市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选乒乓球的人数比选羽毛球的人数多（）

A、5 B、10 C、15 D、2

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12、阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．

杨辉三角

如果将 $(a + b)^{n} (n$ 为非负整数）的展开式的每一项按字母 $a$ 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：

$(a + b)^{0} = 1$ ，它只有一项，系数为1；

$(a + b)^{1} = a + b$ ，它有两项，系数分别为1，1；

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，它有三项，系数分别为1，2，1；

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；

将上述每个式子的各项系数排成该表．

观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．

该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．

(1)、应用规律：①直接写出

(a + b)^{4}

的展开式，

(a + b)^{4} =

；②

(a + b)^{6}

的展开式中共有项，所有项的系数和为；

(2)、代数推理：已知m为整数，求证：

(m + 3)^{3} - (m - 3)^{3}

能被18整除．

13、若一个正整数 $a$ 可以表示为 $a = (b + 2) (b - 3)$ ，其中 $b$ 为大于3的正整数，则称 $a$ 为“优雅数”， $b$ 为 $a$ 的“优点”．例如 $14 = (5 + 2) \times (5 - 3) = 7 \times 2$ ，称14为“优雅数”，5为14的“优点”．

(1)、“优雅数”50的“优点”为；

(2)、 $m$ 的“优点”为 $p, n$ 的“优点”为 $q$ ，若 $m - n = 24$ ，且 $p - q = 1$ ，则 $p + q$ 的值为．

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14、阅读材料：若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求m、n的值．
$∵ m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，
$∴ (m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0 ∴ {(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ，
$∴ m - n = 0, n - 4 = 0$ ，
$∴ n = 4, m = 4$ ．根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、已知 $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ ，求 $x - y$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长a、b、c都是正整数，且满足 $a^{2} + b^{2} - 6 a - 8 b + 25 = 0$ ，求边c的最大值

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15、先阅读下面的材料，再完成后面的任务．

材料一

材料二

如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．

例 $a m + a n + b m + b n$

$= a (m + n) + b (m + n)$

$= (m + n) (a + 6)$

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x + 3) - 4$ 进行因式分解的过程：

设 $x^{2} + 2 x = y$ ，原式 $= y (y + 3) - 4 = y^{2} + 3 y - 4$

$= (y - 1) (y + 4) = (x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} + 2 x + 4)$

(1)、填空：因式分解

m^{2} - m n + m x - n x =

；

(2)、因式分解（写出详细步骤）：

(a^{2} - a) (a^{2} - a - 2) - 24

；

(3)、若

△ A B C

三边分别为a，b，c，其中

a = 3

，

b^{2} + c^{2} - 6 b - 6 c + 18 = 0

，判断

△ A B C

的形状，并说明理由．

16、阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如 $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y$ ，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$x^{2} - 4 y^{2} + 2 x - 4 y = (x^{2} - 4 y^{2}) + (2 x - 4 y)$ 分组
$= (x - 2 y) (x + 2 y) + 2 (x - 2 y)$ 组内分解因式
$= (x - 2 y) (x + 2 y + 2)$ 整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $9 x^{2} - y^{2} - 9 x + 3 y$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边a、b、c满足 $a^{2} - b^{2} - a c + b c = 0$ ，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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17、阅读下列材料，并完成相应的任务.

数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“ $m^{2} - m n + 2 m - 2 n$ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下： $m^{2} - m n + 2 m - 2 n = (m^{2} - m n) + (2 m - 2 n) = m (m - n) + 2 (m - n) = (m - n) (m + 2)$ .

此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.

任务：

(1)、因式分解：

a^{3} - 3 a^{2} + 2 a - 6

；

(2)、已知

m + n = - 5

，

m - n = 2

，求

m^{2} - n^{2} + 9 m - 9 n

的值.

18、因式分解： $x y - x - 4 y + 4 =$ ．

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19、在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：

甲： $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$

$= (x^{2} - x y) + (4 x - 4 y)$ （分成两组）

$= x (x - y) + 4 (x - y)$ （直接提公因式）

$= (x - y) (x + 4)$ ，

乙： $a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c$

$= a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2 b c)$ （分成两组）

$= a^{2} - {(b - c)}^{2}$ （直接运用公式）

$= (a + b - c) (a - b + c)$

请在他们的解法启发下解答下面各题：

(1)、因式分解：

4 a^{2} - 9 + b^{2} - 4 a b

；

(2)、若

a - b = - 5, b - c = 3

，求式子

a b - b c + a c - a^{2}

的值．

20、我们有公式： $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式： $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．
如果有一个关于 $x$ 的二次项系数是1的二次三项式 $x^{2} + p x + q$ ，它的常数项可以看作两个数 $a$ 与 $b$ 的积，而它的一次项的系数恰是 $a$ 与 $b$ 的和，它就可以分解为 $(x + a) (x + b)$ ，也就是说：当 $p = a + b$ ， $q = a b$ 时，有 $x^{2} + p x + q = x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．
例如： $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ ； $m^{2} + 17 m + 60 = (m + 12) (m + 5)$ ；
$x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ ； $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ ．
下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 2 x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 9$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 2 x = y$ ，则原式 $= (y - 2) (y + 4) + 9 = y^{2} + 2 y + 1 = {(y + 1)}^{2} = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ ．

(1)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

(2)、请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x - 2) - 3$ 进行因式分解．

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