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1、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $E C$ ， $A B$ 交于点 $F$ ， $∠ E C D = ∠ B C F$ ．

(1)、求证： $C E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $E C = 3$ ， $B C = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径和四边形 $A B C D$ 的面积．

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2、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， D为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A D C = 90 °$ ，将 $△ A D C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A E B$ ，连接 $E D$ 并延长交 $B C$ 于F点，过B作 $B G ⊥ B E$ 交 $E F$ 的延长线于G．

(1)、请直接写出 $△ A D E$ 的形状为______；

(2)、探究线段 $D E$ ， $D F$ ， $D C$ 之间的数量关系，并说明理由．

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3、苦荞麦生长在凉山的高寒山区，具有降血糖、血脂等功效．苦荞制品包括苦荞茶、苦荞面等，市场上苦荞茶的进价比苦荞面的进价每盒多20元，某商家用500元购进的苦荞茶盒数比用450元购进的苦荞面盒数少5盒．在每个月的销售调查中，该商家发现苦荞茶每盒售价51元时，可售出390盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．

(1)、求苦荞茶、苦荞面每盒的进价各多少元？

(2)、若物价部门规定苦荞茶每盒销售单价不低于51元且不高于90元，设苦荞茶每盒售价x元，该商家每月销售苦荞茶的利润为y元，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值．

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4、解方程和不等式组：

(1)、 $x^{2} + 10 x + 16 = 0$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 3 (x - 1) + 2 < 5 x + 3 \\ \frac{x + 1}{2} + x \geq 3 x - 4 \end{matrix}$ ．

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5、计算： $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - |\sqrt{3} - 3| + {(\frac{1}{2})}^{- 3} - \sqrt{12}$ ．

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6、某校食堂在午餐中有四荤四素共八种菜品供学生选择，某学生用餐时随机选两种菜，则他恰好选到一荤一素的概率是．

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7、若m、n是两个不相等的实数，且满足 $m^{2} - 2 m = 1$ ， $n^{2} - 2 n = 1$ ，则代数式 $m^{2} + n^{2}$ 的值为．

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8、关于x的函数 $y = (m - 3) x^{2} + 5 x + m^{2} - m - 6$ 图象经过原点，则m的值为．

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9、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，与x轴交于A，B两点，B点坐标为 $(4, 0)$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ，且与y轴的交点在 $(0, 3)$ ， $(0, 4)$ 之间．下列结论：
① $a b c < 0$ ；
② $4 a - 2 b + c > 0$ ；
③ $- \frac{1}{2} < a < - \frac{3}{8}$ ；
④若点 $(- 1, y_{1})$ ， $(\sqrt{5}, y_{2})$ ， $(2, y_{3})$ 在该抛物线上，则 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ ；
⑤关于x的方程 $a {(x - 1)}^{2} + b x = b - c$ 的两实数根分别为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 5$
其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10、一个不透明布袋中装有3个形状质地相同的小球，分别标有数字0， $- 1$ ， 2．现从袋中随机抽取一个小球后不再放回，记录标有的数字为x，再从袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，组成点M的坐标 $(x, y)$ ，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，2为半径作 $⊙ O$ ，则过点 $M (x, y)$ 能作 $⊙ O$ 的切线的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11、已知圆锥的母线长为 $4cm$ ，底面半径长为 $1cm$ ，则将其侧面展开得到的扇形的圆心角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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12、如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，若 $A D ⊥ B C$ ， $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ C A E$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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13、下列事件是必然事件的是（）

A、关于x的方程 $x^{2} + a x + a - 2 = 0$ （a为实数）一定有实数解 B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C、三角形三个内角平分线的交点是三角形的外心 D、抛一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上的次数一定是5次

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14、2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、下列各式正确的是（）

A、 $2 a^{2} + 3 a^{2} = 5 a^{4}$ B、 $(- a + b) (- a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a$

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16、2023年11月，攀枝花——凉山天然气管道（简称“攀凉管道”）进入建设阶段，该项目对于推动两地协同发展、优化能源结构有重大意义，项目总投资992170000元，将992170000用科学记数法表示为（）

A、 $9.9217 \times 10^{7}$ B、 $9.9217 \times 10^{8}$ C、 $9.9217 \times 10^{9}$ D、 $9.9217 \times 10^{10}$

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17、素材1：小明家共有 $120 m$ 长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为 $120 m$ ．爸爸已经算出方案丙中，当 $E F = 15 m$ 时，所围的菜地面积最大．
任务1：（1）在方案甲中， $A B$ 长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 $m^{2}$ ；
任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值；
素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即 $2 A B$ ， $3 C D$ ， $4 E F$ ）存在某种特殊的规律．
任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律；
②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性．

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18、如图，在 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = \sqrt{6}$ ，点D为底边BC上一点， $⊙ O$ 是 $△ A B D$ 的外接圆， $⊙ O$ 交AC于点F，过点A作 $A E ∥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于点E，连接 $E F$ ， $E D$ ．

(1)、求证：四边形 $A E D C$ 为平行四边形；

(2)、当 $∠ A D B = 60 °$ 时，
①求 $⊙ O$ 的半径；
②求 $△ A E F$ 的面积．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A C$ ，点D在线段 $B C$ 的延长线上，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $120 °$ 得到 $A E$ ，连接 $C E$ ，过点E作 $E F ⊥ B C$ 于点F．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $B C = 3$ ， $C F = 2 C D$ ，求 $B F$ 的长．

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20、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象经过点 $(1, 3)$ ．

(1)、求a，b满足的数量关系；

(2)、若点 $(m, n)$ 在该函数图象上，无论m为何值，始终有 $n \leq 3$ ．求a的值．

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