相关试卷

1、如图，在 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = \sqrt{6}$ ，点D为底边BC上一点， $⊙ O$ 是 $△ A B D$ 的外接圆， $⊙ O$ 交AC于点F，过点A作 $A E ∥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于点E，连接 $E F$ ， $E D$ ．

(1)、求证：四边形 $A E D C$ 为平行四边形；

(2)、当 $∠ A D B = 60 °$ 时，
①求 $⊙ O$ 的半径；
②求 $△ A E F$ 的面积．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A C$ ，点D在线段 $B C$ 的延长线上，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $120 °$ 得到 $A E$ ，连接 $C E$ ，过点E作 $E F ⊥ B C$ 于点F．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $B C = 3$ ， $C F = 2 C D$ ，求 $B F$ 的长．

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3、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象经过点 $(1, 3)$ ．

(1)、求a，b满足的数量关系；

(2)、若点 $(m, n)$ 在该函数图象上，无论m为何值，始终有 $n \leq 3$ ．求a的值．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 50 °, ∠ B = 20 °$ ．

(1)、求作 $⊙ O$ ，使 $⊙ O$ 经过B，C两点，且圆心O落在 $A B$ 边上；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证： $A C$ 是（1）中所作 $⊙ O$ 的切线．

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5、在校运动会中，为确定A，B，C，D四个班级在“4×100m接力”决赛时的赛道，采用以下方式抽签，在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有道次：1，2，3，4（四个小球除所标数字外都相同），四个班级按A，B，C，D的次序依次从盒中随机摸出一个小球．

(1)、A班抽到1号道次的概率是；

(2)、若A班从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀后B班再从盒中随机摸出一个小球．请画树状图或列表，求A，B两班决赛时赛道相邻的概率．

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6、在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 的顶点分别是 $A (3, 1), O (0, 0), B (2, 5)$ ．

(1)、画出 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 所得的 $△ A_{1} O B_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、在（1）的旋转过程中，求线段 $O A$ 扫过的图形面积．

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7、如图，在正方形 $A B C D$ 中，以边 $A D$ 上的点O为圆心， $O B$ 的长为半径画弧，分别与边 $B C$ ， $C D$ 交于点E，F．若 $O A = 2 C F$ ，则 $C E : B E$ 的值为．

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8、若二次函数 $y = a {(x + 1)}^{2} + k$ （a，k为常数）与 $y = a {(x - 2)}^{2} + k$ 的图象交于点 $(m, 1)$ ，则关于x 的方程 $a {(x - 2)}^{2} + k = 1$ 的解为．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $A C$ 为直径作半圆O，交 $A B$ 于点D，在 $\overset{⏜}{A D}$ 上取一点E，使 $\overset{⏜}{D E} = \overset{⏜}{C D}$ ，连接 $C E$ ．若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ A C E$ 的度数为．

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10、在平面直角坐标系中，若点 $A (8, m)$ 与 $B (- 8, - 5)$ 关于原点对称，则 $m =$ ．

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11、数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的 $△ A B C$ ，其中 $∠ C = 90 °, ∠ A = 30 °$ ， $A B = 6$ ，小明将点D固定在边 $A C$ 上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接 $D P$ ，令 $D P^{2}$ 为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足 $M N = N R$ ，则这三个点的纵坐标n的值为（）

A、5 B、5.25 C、5.5 D、6

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12、如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程 $y_{1}$ （单位：m）与滑行时间 $t_{1}$ （单位：s）满足函数关系： $y_{1} = 0.05 t_{1}^{2} + t_{1}$ ；在缓冲道上的滑行路程 $y_{2}$ （单位：m）与在缓冲道上的滑行时间 $t_{2}$ （单位：s）满足函数关系： $y_{2} = - 0.5 t_{2}^{2} + 8 t_{2}$ ，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时 $68 s$ ，则他在坡道上的滑行路程为（）

A、 $32 m$ B、 $240 m$ C、 $270 m$ D、 $280 m$

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13、元旦来临，小海在一张边长为 $4 dm$ 的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（）

A、 $2 \sqrt{2} dm$ B、 $2 dm$ C、 $\sqrt{2} dm$ D、 $1 dm$

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14、如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点 $B^{'}$ 恰好落在边 $B C$ 上．若 $∠ B = 75 °$ ，则 $∠ C A C^{'}$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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15、 $D e e p S e e k - A I$ 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段， $D e e p S e e k$ 模型的初始训练数据量为500万亿个标记 $(t o k e n s)$ ．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（）

A、 $500 (1 + 2 x) = 720$ B、 $500 (1 + x^{2}) = 720$ C、 $500 {(1 + x)}^{2} = 720$ D、 $500 (1 + x) = 720$

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16、抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ 的对称轴是直线（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $y = 3$ D、 $y = - 3$

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17、在下列事件中，不可能事件是（）

A、投掷一枚硬币，正面向上 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、任意画一个圆，它是轴对称图形 D、从只有红球的袋子中摸出黄球

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18、以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、【材料阅读】
小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板．
如图：在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = C B$ ；在 $△ D E F$ 中， $∠ D E F = 90 °$ ， $∠ E D F = 30 °$ ，并提出了相应的问题．
如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 $B$ 摆放在线段 $D F$ 上时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，过点 $C$ 作 $C N ⊥ D F$ ，垂足为 $N$ ．

(1)、图1中， $A M = 3$ ， $C N = 8$ ，求 $M N$ 的长，请补充小明的过程．
$∵ ∠ A B C = 90 °$ ，
$∴ ∠ A B M + ∠ C B N = 90 °$ ，
$∵ A M ⊥ D F, C N ⊥ D F$ ，
$∴ ∠ A M B = 90 °, ∠ C N B = 90 °$ ，
$∴ ∠ A B M + ∠ B A M = 90 °$ ，
$∴ ∠ B A M = ∠ C B N$ ， …

(2)、如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点 $B$ 在线段 $D E$ 上且顶点 $A$ 在线段 $E F$ 上时，过点 $C$ 作 $C P ⊥ D E$ ，垂足为 $P$ ，猜想 $A E ， P E ， C P$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点 $A$ 在线段 $D E$ 上且顶点 $B$ 在线段 $E F$ 上时，若 $A E = 8$ ， $B E = 2$ ， $B C^{2} = 68$ ，连接 $C E$ ，直接写出 $△ A C E$ 的面积．

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20、小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点 $O$ 处用一根细绳悬挂个小球 $A$ ，小球 $A$ 可以自由摆动，如图， $O A$ 表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠进小球时，小球从 $O A$ 摆到 $O B$ 位置，此时过点 $B$ 作 $B D ⊥ O A$ 于点 $D$ ，且测得到点 $B$ 到 $O A$ 的距离 $B D$ 为 $10 cm$ ；当小球摆到 $O C$ 位置时， $O B$ 与 $O C$ 恰好垂直（图中的 $A, B, O, C$ 在同一平面上），过点 $C$ 作 $C E ⊥ O A$ 于点 $E$ ，测得点 $C$ 到 $O A$ 的距离 $C E$ 为 $18 cm$ ．

(1)、判断 $C E$ 与 $O D$ 的数量关系，并证明；

(2)、求两次摆动中，点 $B$ 和点 $C$ 的高度差 $D E$ 的长．

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