相关试卷

1、下列运算正确的是（）

A、 $a + a = a^{2}$ B、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 $a \cdot a = 2 a$

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2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）经过点 $(- 1, - 8)$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 5)$ ．连接 $A C$ ，作射线 $C B$ ，且 $\tan ∠ C A B = 5$ ．

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的表达式；

(2)、点 $G$ 是射线 $C B$ 下方抛物线上的一动点，过点 $G$ 作 $G N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，交线段 $B C$ 于点 $M$ ．点 $E$ 是线段 $M N$ 上一动点， $E F ⊥ y$ 轴于点 $F$ ，点 $D$ 为线段 $A C$ 的中点，连接 $B E$ ， $D F$ ．当线段 $G M$ 长度取得最大值时，求 $B E + E F + D F$ 的最小值；

(3)、将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移，使得新抛物线经过（ $2$ ）中线段 $G M$ 长度取得最大值时的点 $M$ ，且与射线 $C B$ 相交于另一点 $P$ ．点 $T$ 为新抛物线上的一个动点，当 $∠ T M P = ∠ A C B$ 时，直接写出所有符合条件的点 $T$ 的坐标．

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3、 $2025$ 年春节，随着电影《哪吒 $2$ 》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多 $10$ 元，用 $810$ 元购进“哪吒”手办的个数与用 $630$ 元购进“敖丙”手办的个数相同．

(1)、单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？

(2)、该超市计划购进这两种手办共 $400$ 个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为 $55$ 元/个、 $60$ 元/个．设购进“敖丙”手办的个数为 $a$ 个，两种手办全部售完时获得的利润为 $w$ 元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 为矩形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 的中点，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，点 $F$ 为射线 $C D$ 上一点，若 $C F = F E = E A$ ， $B D = 2$ ，则 $C F + \sqrt{2} E O$ 的最小值为．

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5、某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为 $2$ 和 $1$ ， $3$ 和 $1$ ， $4$ 和 $1$ ， $5$ 和 $1$ ， $6$ 和 $1$ ， $7$ 和 $1$ ， $8$ 和 $1$ ， $9$ 和 $1$ 时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的 $\frac{1}{3}$ ；当已知矩形的相邻两边分别为 $10$ 和 $1$ 时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的 $\frac{1}{3}$ ，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为；当已知矩形的长和宽分别为 $a$ 和 $b$ 时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的 $\frac{1}{3}$ ，则 $a$ 和 $b$ 应满足的关系式为．

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6、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．以点 $A$ 为圆心， $A B$ 的长为半径作 $\overset{⌢}{B M C}$ ；再以 $B C$ 为直径作 $\overset{⌢}{B N C}$ ，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为（用含 $π$ 的代数式表示）．

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7、若点 $A (m, n)$ 是直线 $y = 2 x + 1$ 与双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 的交点，则代数式 $2 m^{2} n - m n^{2}$ 的值为．

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8、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $36 °$ ，得到 $△ A M N$ ，且点 $B$ 的对应点 $M$ 恰好落在 $B C$ 上，则 $∠ A M C$ 的度数为度．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90 °$ ，且 $A D > B C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $C D$ 相切于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ， $E F$ ．

(1)、求证： $△ D E F ∽ △ D A E$ ；

(2)、若 $B C = 8$ ， $\sin ∠ A E F = \frac{5}{13}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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10、如图1是近几年热门的中小学生课桌椅，其椅子可实现坐直和躺睡两种状态，根据人体工学原理，当椅背与凳面在160度左右时，人体会感到舒适，可进一步提高学生午休的睡眠质量．如图2是该椅子在躺睡状态时的截面图：点E，F均在 $M N$ 所在的直线上，若 $A D ∥ B C$ ，凳面 $A B = 46 cm$ ，凳面 $A B$ 始终与地面 $M N$ 平行，腿托 $A D = 30 cm$ ，椅背 $B C = 44 cm$ ， $D E ⊥ E M$ ， $C F ⊥ N F$ ， $∠ A B C = 161 °$ ，请求出此时躺椅在地面的水平长度投影EF的长．（结果精确到 $0.1 cm$ ；参考数据： $\cos 19 ° \approx 0.95$ ， $\tan 19 ° \approx 0.34$ ）

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11、交通道路的不断完善带动了旅游业的发展，某县旅游景区有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 等著名景点，该县旅游部门统计绘制出2025年“五·一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

(1)、2025年“五·一”期间，该县周边景点共接待游客________千人，扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是________度，并补全条形统计图；

(2)、根据近几年到该县旅游人数的增长趋势，预计2026年“五·一”节将有7万游客选择该县旅游，请估计有多少万人会选择去 $C$ 景点旅游？

(3)、请用画树状图或列表的方法计算在 $C$ ， $E$ ， $D$ 三个景点中，甲、乙两个旅行团同时选择去同一个景点的概率．

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12、计算与解不等式组

(1)、计算： $\sqrt[3]{- \frac{1}{64}} + 2^{- 2} + {(5.8 + π)}^{0} - | \sqrt{2} - 1 |$ ；

(2)、解不等式组： $\{\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{3 x - 5}{6} \leq 1 ① \\ 4 (1 - x) + 5 x < 7 ② \end{cases}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点C作 $C F ∥ A B$ ，再分别以点B和点C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $C B$ ， $C F$ 于点D，O，E，连接 $B E$ ，若 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，则 $O E$ 的长为．

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14、点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 都在函数 $y = - \frac{1}{2 x}$ 的图象上，且 $x_{2} < 0 < x_{1}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）．

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15、一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红球，估计口袋中有黑球个．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，且 $B D = 2 A D$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $15$ ，则四边形 $B C E D$ 的面积为．

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17、因式分解： $m x^{2} - 2 m x + 4 m =$ ．

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18、某同学用描点法画二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（）
$x$
$\dots$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 4$
$- 3$
$0$
$5$
$12$
$\dots$

A、对称轴为 $x = 1$ B、关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 只有一个根 $x = 1$ C、当 $x < 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的减小而减小 D、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的顶点坐标为 $(- 1, - 4)$

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19、《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 4 x = 5 y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 3 x = 4 y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 6 x = 5 y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 1 \\ 5 x = 6 y \end{array}$

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20、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，若 $∠ B A D = 74 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $14 °$ B、 $15 °$ C、 $16 °$ D、 $37 °$

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$x$	$\dots$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$	$12$	$\dots$