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1、中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出60元记作 $- 60$ 元，则 $+ 50$ 元表示（）

A、支出50元 B、收入50元 C、支出60元 D、收入60元

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2、解方程： $x^{2} - 2 x = 1$ ．

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3、请参考下面阅读材料中的解题方法，完成下面的问题：
阅读材料“如果代数式 $a + 2 b$ 的值是5，那么代数式 $2 (a - b) + 6 b$ 的值是多少？”我们可以这样来解： $2 (a - b) + 6 b = 2 a - 2 b + 6 b = 2 a + 4 b = 2 （ a + 2 b ）$ ．把式子 $a + 2 b = 5$ 代入得： $2 （ a + 2 b ） = 2 \times 5 = 10$ ．即代数式 $2 (a - b) + 6 b$ 的值是 $10$ ．

(1)、已知 $a^{2} + b = 3$ ，求 $a^{2} + b + 7$ 的值．

(2)、已知 $a - 3 b = - 2$ ，求 $a + 3 b - 3 (a - b) + 5$ 的值．

(3)、已知 $a^{2} - 3 a b = - 5$ ， $b^{2} + 2 a b = 3$ ，求 $2 a (a - 4 b) - b^{2}$ 的值．

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4、某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
$+ 5$
$- 2$
$- 4$
$+ 13$
$- 10$
$+ 16$
$- 9$

(1)、根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？

(2)、根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？

(3)、产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？

(4)、该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？

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5、观察下图，若每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1．

(1)、图中阴影部分的面积是__________；阴影部分正方形 $A B C D$ 的边长是__________．

(2)、边长 $A D$ 的值在整数__________和__________之间．

(3)、把正方形 $A B C D$ 放在数轴上，如A与 $- 1$ 重合，那么D在数轴上表示的数是__________．

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6、先化简，再求值： $2 x^{2} + 4 y^{2} + (2 y^{2} - 3 x^{2}) - 2 (y^{2} - 2 x^{2})$ ，其中 $x = - 1, y = \frac{1}{2}$ ．

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7、计算：

(1)、 $(- 7) - (- 13)$ ；

(2)、 $(\frac{2}{9} - \frac{1}{3} - \frac{2}{27}) \times 27$

(3)、 $\sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{- 8} + \sqrt{4}$ ；

(4)、 $- 1^{4} + \frac{1}{8} \times {(- 2)}^{3} - {(- 3)}^{2}$ ．

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8、观察下列等式，发现规律，并解决问题．
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}; \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}; \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；
现有一列数： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}$ （ $n$ 为正整数），规定 $a_{1} = 2, a_{2} - a_{1} = 4$ ， $a_{3} - a_{2} = 6, \dots, a_{n} - a_{n - 1} = 2 n (n \geq 2),$ 则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \dots .. + \frac{1}{a_{2024}}$ 的值为．

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9、对于任意有理数 $a 、 b$ ，规定一种新运算“◇”： $a ◇ b = a^{2} - (a + b)$ ，例： $2 ◇ 5 = 2^{2} - (2 + 5) = - 3$ ，求 $(- 3) ◇ 2 =$ ．

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10、用四舍五入法把1.732精确到十分位，所得的近似数是．

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11、关于“ $\sqrt{21}$ ”，下列说法不正确的是（）

A、它可以表示面积为21的正方形的边长 B、它表示21的算术平方根 C、它的小数部分是 $\sqrt{21} - 4$ D、方程 $x^{2} = 21$ 的解是 $x = \sqrt{21}$

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12、单项式 $- \frac{1}{3} x y$ 的系数和次数分别是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ ，1 B、 $- \frac{1}{3}$ ， 2 C、 $\frac{1}{3}$ ， 1 D、 $\frac{1}{3}$ ， 2

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13、已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点，且弦 $E B > B F, A M ⟂ E B$ 于点M.

(1)、如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.

(2)、如图2， △AEF是等边三角形，若 $A E = 20, ∠ A E B = 4 5^{\circ},$ ，利用(1)的结论，求 $△ B E F$ 的周长.

(3)、如图3，若 $∠ E B F = 5 8^{\circ}, E B = 25, F B = 19, B M = 3,$ ，连结EA，求 $∠ A E F$ 的度数.

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14、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ (a， b是常数，且a>0).

(1)、若抛物线经过A(1， 5)， B(-2， - 1)，求该二次函数的解析式.

(2)、在(1)的条件下，抛物线上有一点 P，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点 P的坐标.

(3)、若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令 $w = b^{2} - 2 b + 4 a,$ 是否存在一个常数t，使得当 $t \leq b \leq t + 1$ 时，w的最小值恰好等于t.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

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15、如图，四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD， $∠ B C D,$

(1)、若BC=5cm，CD=12cm，求AB的长；

(2)、求证： $B C + C D = \sqrt{2} A C .$

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16、如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.

(1)、计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.

(2)、记水流的高度为y₁ ，斜坡的高度为y₂ ，求 $y_{1},$ $y_{1} - y_{2}$ 的最大值.

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17、已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C.

(1)、用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 O；

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形，且AAB=AC=5，BC=8，求该圆板的半径.

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18、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是A(-3，2)， B(-1，4)， C(0，2).
⑴将 $△ A B C$ 以点C为旋转中心旋转 $18 0^{\circ},$ ，画出旋转后对应的 $△ A_{1} B_{1} C;$
⑵平移 $△ A B C,$ ，若点A 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为((-5，-2)，画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2};$
⑶若将 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 绕某一点旋转可以得到 $△ A_{1} B_{1} C,$ ，请直接写出旋转中心的坐标.

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19、为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术、D班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习.

(1)、求甲同学选择A 班剪纸课的概率.

(2)、利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率.

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20、知函数 $y = - x^{2} + b x + c$ (b，c为常数)的图象经过点 ( - 1，0)， (3，0).

(1)、求二次函数表达式；

(2)、当-4≤x≤0时，求函数y的最大值和最小值.

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