相关试卷

1、在平面直角坐标系内，点 $A (- 1, 6)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第 $n$ 个图形中圆圈的个数是（）

A、 $4 n - 1$ B、 $4 n + 1$ C、 $4 n - 2$ D、 $4 n + 2$

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3、如图，一棵大树的一段 $B C$ 被风吹断，顶端 $C$ 着地， $B C$ 段与地面 $A C$ 成 $30 °$ 夹角，若 $A B$ 段长度为3米，则顶端着地处 $C$ 与大树底端 $A$ 之间的距离为（）

A、9米 B、 $3 \sqrt{3}$ 米 C、 $3 \sqrt{5}$ 米 D、6米

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4、实验室中有四个因操作不规范沾染污垢的砝码，经过测量，超出标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，那么下列砝码的质量最接近标准的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $∠ A + ∠ C = 180 °$ ，则四边形 $A B C D$ 叫作“求同存异四边形”．

(1)、①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______；
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②“求同存异四边形” $A B C D$ 中，若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ D =$ ______；

(2)、如图2，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ，若 $B D$ 垂直平分 $A C$ ，且 $\frac{A E}{D E} = \frac{B E}{C E}$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是“求同存异四边形”；

(3)、如图3，在 $⊙ O$ 中， $B D$ 为直径，A，C分别为 $⊙ O$ 上的两个动点，使得四边形 $A B C D$ 为“求同存异四边形”，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ，若 $B D = 1$ ， $A C = x$ ， $\frac{A C}{C E} + A B + D A = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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6、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a > 0)$ 上有且只有三个点到 $x$ 轴的距离为 $\frac{1}{16}$ ．
（1）求 $a$ ， $b$ 应满足的关系式；
（2）该抛物线上任意两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，当 $(x_{1} - \frac{1}{2}) (x_{2} - \frac{1}{2}) > 0$ 时，总有 $y_{1} \neq y_{2}$ ．
①求抛物线的解析式；
②当点 $A$ ， $B$ 在第一象限时，射线 $A O$ ， $B O$ 分别交直线 $y = - 2$ 于 $C$ ， $D$ 两点，若 $C$ ， $D$ 两点的横坐标之积为8，求证：直线 $A B$ 过定点．

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7、实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过D的直线折叠，使点C落在 $A D$ 上的点 $C^{'}$ 处，得到折痕 $D E$ ，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片 $A B C D$ 沿过点E的直线折叠，点A恰好落在 $C D$ 上的点 $A^{'}$ 处，得到折痕 $E F, B C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点M，再把纸片展平．问题解决：

(1)、如图1，求证：四边形 $C D C^{'} E$ 是正方形．

(2)、如图2，若 $C A^{'} = 3, D A^{'} = 6$ ，求 $△ A^{'} C M$ 的面积．

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8、近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设 $25$ 道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
$24$
1
$95$
B
$21$
4
$80$
C
$18$
7
$65$
D
$14$
$11$
$45$
E
$25$
0
$100$

(1)、填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；

(2)、参赛者 $F$ 得 $70$ 分，他答对了几道题？

(3)、参赛者 $G$ 说他得 $87$ 分，你认为可能吗？请通过计算说明．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 是边 $A B$ 上的高，且 $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D}$ ．

(1)、求 $∠ A C B$ 的大小；

(2)、若 $A C = 20$ ， $B D = 9$ ，求 $∠ A$ 的余弦值．

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10、某校初中数学组举办了24点的计算比赛活动，为了解七年级学生在此次活动的得分情况，随机抽取该校七年级部分学生的此次测试成绩，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩 $x$ 均为不小于60的整数，分为四个等级： $D : 60 \leq x < 70$ ， $C : 70 \leq x < 80$ ， $B : 80 \leq x < 90$ ， $A : 90 \leq x \leq 100$ ），部分信息如下：
信息一：（如图）
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；

(1)、求所抽取的学生成绩为C等级的人数；

(2)、求所抽取的学生成绩的中位数；

(3)、若七年级1班有4个同学成绩是A等级，其中3个男生1个女生，若从中派出两人参加决赛，用列表法或画树状图法求恰好抽到的学生为一个男生和一个女生的概率．

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11、图1的烈士纪念塔是湖南省烈士公园核心景区，位于公园南大门和西大门两中轴线交汇点的杜家山上．某数学兴趣小组想测量该塔的高度，测量小组使无人机在点 $A$ 处以 $8 m / s$ 的速度竖直上升 $10s$ 后，飞行至点 $B$ ，在点 $B$ 处测得塔尖 $D$ 的俯角为 $20 °$ ，然后沿水平方向向左飞行至点 $G$ ，在点 $G$ 处测得塔尖 $D$ 和点 $A$ 的俯角均为 $45 °$ ，点A，B，G，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， $D E ⊥ A E$ （如图2）．求烈士纪念塔 $D E$ 的高度．（参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34, \cos 20 ° \approx 0.94, \tan 20 ° \approx 0.36$ ）

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12、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两根，求下列两个代数式的值：

(1)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ ；

(2)、 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)$ ．

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13、计算： $\sqrt{12} - \tan 60 ° - {(π - 2024)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

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14、河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1： $\sqrt{3}$ ，则AC的长是米．

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15、已知抛物线 $y = a {(x - 3)}^{2} + 2 (a > 0)$ 经过点 $A (1, y_{1})$ ， $B (m, y_{2})$ ， $C (n, y_{3})$ ，且 $|m - 3| < |n - 3| < 2$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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16、下列方程的变形正确的是（）

A、由 $4 x + 3 = 8 x + 7$ ，得 $4 x - 8 x = 3 - 7$ B、由 $- 8 x + 3 = - 13 x - 7$ ，得 $- 8 x + 13 x = - 7 - 3$ C、由 $3 x - 2 = 2 x - 1$ ，得 $3 x - 2 x = 1 + 2$ D、由 $- 5 x - 7 = 2 x - 11$ ，得 $11 - 7 = 2 x - 5 x$

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17、综合与实践
【发现问题】
海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长 $5 m$ 宽 $2 m$ 的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高 $2 m$ 的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．
【提出问题】
设临时换衣间长方形地面的一边长为 $x m$ ，临时换衣间地面面积为 $y m^{2}$ ，那么 $y$ 与 $x$ 之间有什么关系呢？
【分析问题】
一方面发现临时换衣间的底面周长是 $5 m$ ，于是另一边长可以用含 $x$ 的代数式表示，于是利用矩形的面积 $=$ 长 $\times$ 宽，就可以直接列出面积 $y$ 与 $x$ 的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长 $x m$ 和面积 $y m^{2}$ 的相关数据，如表：
长方形地面的一边长 $x m$
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
…
长方形地面的面积 $y m^{2}$
0.84
1.14
1.36
1.5
1.56
…
然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想 $y$ 与 $x$ 之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式．
【解决问题】

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系；

(2)、求 $x$ 为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？

(3)、小明发现离洗浴地不远处有一栋长 $10 m$ 高 $5 m$ 的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达．

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18、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 为 $A C$ 边上一点，以点 $O$ 为圆心， $O C$ 为半径作圆与 $A B$ 相切于点 $D$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求证： $∠ A B C = 2 ∠ A C D$ ；

(2)、若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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19、二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“ $A$ ．惊蛰”“ $B$ ．夏至”“ $C$ ．白露”“ $D$ ．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．

(1)、小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“ $A$ ．惊蛰”的概率是．

(2)、小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人同时抽到“ $A$ ．惊蛰”“ $B$ ．夏至”的概率．

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20、（1）计算： $|- 3| - 2025^{0} + \sqrt[3]{- 8}$ ；
（2）解分式方程： $\frac{3}{x} = \frac{2}{x + 1}$ ．

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参赛者	答对题数	答错题数	得分
A	$24$	1	$95$
B	$21$	4	$80$
C	$18$	7	$65$
D	$14$	$11$	$45$
E	$25$	0	$100$

长方形地面的一边长 $x m$	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	…
长方形地面的面积 $y m^{2}$	0.84	1.14	1.36	1.5	1.56	…