相关试卷

1、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，写出一个符合条件整数k的值．

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2、在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若 $△ A B C$ 为直角三角形，则m的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、0 D、 $\pm 2$

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3、对于实数a、b，定义新运算“*”： $a * b = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，若关于x的方程 $(x + 1) * (x - 2) = k$ 有实数根，且根为整数，则整数k的个数为（）

A、2个 B、1个 C、4个 D、5个

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4、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m$ 的图像与x轴交于A、B两点，顶点为P．且 $△ A B P$ 是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则m的值为（）

A、0.5 B、2 C、3 D、0.4

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5、对于抛物线 $y = 7 {(x - 2)}^{2} - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、可由抛物线 $y = 7 x^{2} - 1$ 向左平移2个单位长度得到 B、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而增大 C、与y轴无交点 D、顶点坐标是 $(- 2, - 1)$

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6、在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为 $2 x + 1$ ，且 $P Q = 4$ ，则所有满足条件的x的和为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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7、如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（）

A、88 B、78 C、68 D、58

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8、2023年工作报告指出，要建立未来产业投入增长机制，化工制造、芯片科技、智能科技、5G等未来产业，明明和小丽分别对“智能科技”和“芯片科技”最感兴趣，若将报告中的四个产业依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好是“芯片科技”和“智能科技”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{7}$

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9、2025年太原实现社会消费品零售总额9213.2亿元，网络零售额1320.1亿元．将数据9213.2用科学记数法表示为（）

A、 $9.2132 \times 10^{8}$ B、 $9.2132 \times 10^{9}$ C、 $9.2132 \times 10^{4}$ D、 $9.2132 \times 10^{3}$

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10、用一个7倍的放大镜看一个 $15 °$ 的角，看到的角的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $105 °$ C、 $30 °$ D、 $150 °$

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11、下列一元二次方程，没有实数根的是（）

A、 $3 x^{2} - 5 x = 0$ B、 $2 x^{2} - 4 x + 7 = 0$ C、 $5 x^{2} + 5 x - 1 = 0$ D、 $3 x^{2} = 9 x - 2$

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12、已知数据： $\frac{1}{3}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{9}$ ， $π$ ， $- 0.8$ ．其中有理数出现的频率为（）

A、0.2 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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13、如图，

(1)、利用尺规，过点B作 $B C ∥ A D$ ，过点D作 $D C ∥ A B$ ， $B C 、 D C$ 相交于点C．

(2)、试说明： $∠ A = ∠ B C D$ ．

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14、先化简，再求值： ${(2 a - 5 b)}^{2} - (2 a + b) (- b + 2 a)$ ，其中 $a = 1$ ， $b = 2$ ．

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15、
通过旋转将具有特殊数量关系的角组合到一起，转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，这是一种常见的解决问题的思路．
（1）如图1，在等腰直角 $△ B A C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，当 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{2} ∠ B A C = 45 °$ 时，可通过旋转将 $∠ B A D$ 和 $∠ E A C$ 这两个角组合到一起，再进一步得到对称全等的三角形，可得出图1中线段 $B D$ ， $D E$ ， $C E$ 之间的数量关系为___________（直接填写结果）．
【触类旁通】小张思考，若 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{3} ∠ B A C$ 时，有什么有趣的结论呢？
（2）如图2，在等腰直角 $△ B A C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，当 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{3} ∠ B A C = 30 ° . A F$ 平分 $∠ D A E$ 且 $A F = A E$ ．请求出此时 $B D$ ， $C E$ ， $D F$ 之间的数量关系．
【举一反三】
（3）如图3， $∠ B A C = 135 °, A B = A C, ∠ B A D + ∠ E A C = 45 °, B D = 4, C E = \sqrt{2}$ ．将线段 $A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 得线段 $A F$ ，连接 $D F$ ．求 $D F$ 的长度．

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16、
【教材呈现】：
已知 $M$ 是含字母 $x$ 的单项式，要使多项式 $4 x^{2} + M + 1$ 是某个多项式的平方，求 $M$ ．
【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：
当 $M$ 为含字母 $x$ 的一次单项式时，原式可以表示为关于 $x$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = {(2 x)}^{2} + M + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}, ∴ M = \pm 2 \times 2 x \cdot 1 = \pm 4 x$ ；
当 $M$ 为含字母 $x$ 的四次单项式时，原式可以表示为关于 $x^{2}$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = M + 2 \times 2 x^{2} \cdot 1 + 1^{2} = {(2 x^{2} + 1)}^{2}, ∴ M = 4 x^{4}$ ．
综上所述， $M$ 为 $4 x$ 或 $- 4 x$ 或 $4 x^{4}$ ．
【解后反思】
①上述解答过程得到等式： $4 x^{2} \pm 4 x + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}; 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 = {(2 x^{2} + 1)}^{2}$ ，
观察等式左边多项式的系数发现： ${(\pm 4)}^{2} = 4 \times 4 \times 1$ ．
②结合多项式的因式分解又如：
$16 x^{2} + 24 x + 9 = {(4 x + 3)}^{2}; 9 x^{2} - 12 x + 4 = {(3 x - 2)}^{2}$ ，
发现这两个多项式的系数规律： $24^{2} = 4 \times 16 \times 9, {(- 12)}^{2} = 4 \times 9 \times 4$ ．
③一般地：若关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数）是某个含 $x$ 的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．
（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________；
【解决问题】
（2）若多项式 $9 y^{2} + 4$ 加上一个含字母 $y$ 的单项式 $N$ ，就能表示为一个含 $y$ 的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式 $N$ ，并对 $9 y^{2} + 4 + N$ 进行因式分解；
（3）若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 (m - 3) x + (m^{2} + 3 m)$ 是一个含 $x$ 的多项式的平方，求实数 $m$ 的值．

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17、综合与实践

主题	2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案
信息1	为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台．
信息2	某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台．
信息3	采购完成后，设备供应商赠送n张（ $6 \leq n \leq 9$ 且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元．

(1)、探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价．

(2)、计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果）

(3)、确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案．

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18、如图，在直角坐标系内，已知点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (- 3, 4)$ ．

(1)、点 $A$ 关于 $y$ 轴对称的点 $C$ 的坐标是___________；点 $B$ 关于原点对称的点 $D$ 的坐标是___________．

(2)、如图1，线段 $A B$ 绕着点 $M$ 逆时针旋转一定的角度得到线段 $A_{1} B_{1}$ ，若 $A$ 的对应点为 $A_{1}, B$ 的对应点为 $B_{1}$ ，请在图1中用无刻度直尺作出旋转中心 $M$ （不写作法，保留作图痕迹）．

(3)、如图2，在公路 $l$ 的同侧，有两个居民小区 $E 、 F$ ，现需要在公路边建一个长度为 $s$ 米绿化长廊 $G H$ ，要使 $G$ 到小区 $E$ 的距离与 $H$ 到小区 $F$ 的距离和最短，请在图2中用无刻度直尺作出绿化长廊 $G H$ 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, E, F$ 分别是 $B C ， A C$ 的中点，延长 $B A$ 到点 $D$ ，使 $A D = \frac{1}{2} A B$ ．连接 $D F ， A E ， E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D F E$ 是平行四边形；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长．

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20、小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为 $\frac{1}{x - 3}$ ．

(1)、求被墨水污染的部分；

(2)、小明认为当 $x = 4$ 时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？

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